Question

已知函数y=f(x)=Inx/x. （I）求函数y=f(x)的图像在x=1/e处的切线方程； （II）求y=f(x)的最大值；

（III）设实数A＞0，求函数F(X)=af(x)在[a，2a]上的最小值

Answer 1

解：
(I)
∵f(x)=(lnx)/x
∴f’(x)=[(lnx)’x-(lnx)(x)’]/x^2=[(1/x)x-(lnx)×1]/x^2=(1-lnx)/x^2
∴f’(1/e)=[1-ln(1/e)]/(1/e)^2=[1-(-1)]/(1/e^2)=2e^2
∵f(1/e)=[ln(1/e)]/(1/e)=-1×e=-e
∴切线方程为y+e=2e^2(x-1/e)，即y=2e^2x-3e.
(II)定义域为x∈(0，+∞).
令f’(x)=(1-lnx)/x^2=0，则1-lnx=0，lnx=1，x=e.
∵当0<x<e时，lnx<lne=1，1-lnx>0，f’(x)>0，f(x)单调递增；
当 x>e时，lnx>lne=1，1-lnx<0，f’(x)<0，f(x)单调递减
∴x=e是极大值点，f(e)=1/e是极大值
∵在(0，+∞)上，极点唯一
∴f(e)=1/e是最大值.
(III)
∵F(x)=af(x)
∴F’(x)=af’(x)
∵a>0
∴当f’(x)>0时，F’(x)>0；当f’(x)<0时，F’(x)<0
∴F(x)与f(x)的单调性相同
当极点x=e在区间[a，2a]的左侧，即e<a，a>e时：
函数F(x)在区间[a，2a]上单调递减，最小值就是F(2a)=aln(2a)/(2a)=ln(2a)/2；
当极点x=e在区间[a，2a]的右侧，即e>2a，0<a<e/2时：
函数F(x)在区间[a，2a]上单调递增，最小值就是F(a)=aln(a)/(a)=lna；
当极点x=e在区间[a，2a]上，即a≤e≤2a，e/2≤a≤e时：
函数F(x)的最小值只能是F(a)和F(2a)中较小的一个.
而F(a)=lna，F(2a)=(1/2)ln(2a)=ln[(2a)^(1/2)]=ln[√(2a)]
令lna<ln[√(2a)]，那么a<√(2a)，a^2-2a<0，得：0<a<2；
令lna>ln[√(2a)]，那么a>√(2a)，a^2-2a>0，得：a>2；
即当e/2≤a≤2时，F(a)≤F(2a)，最小值是F(a)；
当2<a≤e时，F(a)>F(2a)，最小值是F(2a).
综上所述，当0<a≤2时，最小值是F(a)=lna；当a>2时，最小值是F(2a)=ln(2a)/2.