Question

数学高手来！已知函数f（x）=x-alnx，g（x）=-1+a/x，a∈R，（1）若a=1，求函数f（x）极值（2）设函数h

已知函数f（x）=x-alnx，g（x）=-1+a/x，a∈R，（1）若a=1，求函数f（x）极值（2）设函数h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的单调区间 （3）若在区间[1，e]（e=2.718...）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围 具体 O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），（1分）
当a=1时，f（x）=x-lnx，f′(x)=1-
1x=
x-1x，（2分）
x（0，1）1（1，+∞）f'（x）-0+f（x）极小（3分）
所以f（x）在x=1处取得极小值1．（4分）
（Ⅱ）h(x)=x+
1+ax-alnx，
h′(x)=1-
1+ax2-
ax=
x2-ax-(1+a)x2=
(x+1)[x-(1+a)]x2（6分）
①当a+1＞0时，即a＞-1时，在（0，1+a）上h'（x）＜0，在（1+a，+∞）上h'（x）＞0，
所以h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+∞）上单调递增；（7分）
②当1+a≤0，即a≤-1时，在（0，+∞）上h'（x）＞0，
所以，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增．（8分）
（ III）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即
在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0，
即函数h(x)=x+
1+ax-alnx在[1，e]上的最小值小于零．（9分）
由（Ⅱ）可知
①即1+a≥e，即a≥e-1时，h（x）在[1，e]上单调递减，
所以h（x）的最小值为h（e），
由h(e)=e+
1+ae-a＜0可得a＞
e2+1e-1，
因为e2+1e-1＞e-1，
所以a＞
e2+1e-1；（10分）
②当1+a≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，
所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜-2；（11分）
③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e-1时，可得h（x）最小值为h（1+a），
因为0＜ln（1+a）＜1，
所以，0＜aln（1+a）＜a
故h（1+a）=2+a-aln（1+a）＞2
此时，h（1+a）＜0不成立．（12分）
综上讨论可得所求a的范围是：a＞
e2+1e-1或a＜-2．（13分）
能采纳否？？

Answer 2

①h（x）=f（x）-g（x）
=x-alnx+（a+1）/x
当a≤-1时，h'（x）＞0，h（x）在（0，+∞）单调递增，当a＞-1时，在（a+1，+∞）单调递增

Answer 3

＜0

最后一行打错了，a小于等于0 应改为 a＜-2

Answer 4

太麻烦 只能告诉你 用导数的知识去解决

Answer 5

1