Question

数列{an}的前n项和为Sn=1/2n²+pn，{bn}的前n项和为Tn=[2(n次方)]-1，且a4=b4。（1）求数列{an}、{bn}

公式；（2）若对于数列{cn}有cn=an·bn，请求出数列{cn}的前n项和Rn

Answer 1

解：
(1)
∵Sn=(1/2)n^2+pn，Tn=2^n-1
∴S3=9/2+3p，S4=8+4p，T3=7，T4=15
∴a4=S4-S3=(8+4p)-(9/2+3p)=7/2+p，b4=T4-T3=15-7=8
∵a4=b4
∴7/2+p=8
∴p=9/2.
∴Sn=(1/2)n^2+(9/2)n
∴a1=S1=5，S(n-1)=(1/2)(n-1)^2+(9/2)(n-1)=(1/2)n^2+(7/2)n-4(n≥2)
∴an=Sn-S(n-1)=[(1/2)n^2+(9/2)n]-[(1/2)n^2+(7/2)n-4]=n+4(n≥2)
∵a1=5=1+4
∴数列{an}的通项公式为an=n+4.
∵Tn=2^n-1
∴b1=T1=1，T(n-1)=2^(n-1)-1(n≥2)
∴bn=Tn-T(n-1)=(2^n-1)-[2^(n-1)-1]=2^(n-1)(n≥2)
∵b1=1=2^(1-1)
∴数列{bn}的通项公式为2^(n-1).
(2)cn=(n+4)×2^(n-1)
则Rn=5×1+6×2+7×2^2+…+(n+4)×2^(n-1)
2Rn= 5×2+6×2^2+…+(n+3)×2^(n-1)+(n+4)×2^n
两式相减：-Rn=5+2+2^2+…+2^(n-1)-(n+4)×2^n
=5+2[1-2^(n-1)]/(1-2)-(n+4)×2^n
=5+2^n-2-(n+4)×2^n
=3-(n+3)×2^n
那么Rn=(n+3)×2^n-3.

Answer 2

(1)对于an：
Sn=1/2n²+pn 1;
S(n-1)=1/2(n-1)²+p(n-1) 2;
1-2,得：an=n-1/2+p (n>=2);
a1代入符合，所以 an=n-1/2+p
对于bn：
Tn=2^n-1 3；
T（n-1）=2^（n-1）-1 4；
3-4，得 bn=2^（n-1） (n>=2);
b1代入符合，所以 bn= 2^（n-1）
所以 a4=7/2+p b4=8 所以p=9/2;
所以 an=n+4； bn= 2^（n-1）；
（2）cn=an·bn=（n+4）·2^（n-1）；
Rn=5×1+6×2+7×2^2+…+(n+4)×2^(n-1)； 5；
2Rn= 5×2+6×2^2+…+(n+3)×2^(n-1)+(n+4)×2^n； 6；
6-5，得 Rn=-5-(2+2^2+2^3...+2^(n-1))+(n+4)×2^n；
中间部分利用等比数列求和，得 Rn=-5-(2^n-2）+（n+4)×2^n；
化简，得 Rn=（n+3)×2^n-3；

Answer 3

1、an=S(n)-S(n-1)=1/2n²-1/2(n-1)²
bn=T(n)-T(n-1)=2的(n-1)次方