Question

如图，正三棱柱ABC—A1B1C1，AA1=AB，E是侧棱AA1的中点，（1）求证BC1垂直EC，（2）求二面角A-B-C的大小

能不能用文科的方法，不用直角坐标系啊？

Answer 1

第一个问题：
令BC1∩B1C＝O。
∵ABC－A1B1C1是正三棱柱，AA1＝AB，∴AA1B1B、AA1C1C、BB1C1C是全等的正方形。
∴BO＝C1O＝B1O＝CO，且BC1⊥B1C。······①
∵E是AA1的中点，
∴由勾股定理，容易算出：BE＝C1E，结合证得的BO＝C1O，得：BC1⊥EO。······②
由①、②及BC1∩EO＝O，得：BC1⊥平面EB1C，∴BC1⊥EC。

第二个问题：你忙中大意了，是不是求二面角A－BE－C的大小？　若是这样，则方法如下。
令AB的中点为D，过D作DF⊥BE交BE于F，连结CF。
∵AA1B1B、AA1C1C、BB1C1C是全等的正方形，∴AB＝BC＝AC，又D为AB的中点，
∴CD⊥AB。
显然有平面ABC⊥平面ABB1A1，又平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，结合证得的CD⊥AB，得：
CD⊥平面ABB1A1，∴DF是CF在平面ABB1A1上的射影，
∴由三垂线定理，有：CF⊥BE。
由DF⊥BE、CF⊥BE，得：∠CFD为二面角A－BE－C的平面角。

∵Rt△ABE与Rt△FBD有一个公共锐角，即∠ABE，∴Rt△ABE∽Rt△FBD，
∴DF/AE＝BD/BE，∴DF＝BD×AE/BE。
∴tan∠CFD＝CD/DF＝CD×BE/（BD×AE）
＝（√3/2）AB√（AB^2＋AE^2）/［（1/2）AB×（1/2）AA1］
＝2√3×√［AB^2＋（AA1/2）^2］/AB
＝2√3×√［AB^2＋（AB/2）^2］/AB
＝2√3×√（1＋1/4）
＝√15。
∴∠CFD＝arctan√15。　即二面角A－BE－C的大小为 arctan√15。

注：第二个问题若不是我所猜测的那样，则请你补充说明。

Answer 2

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