Question

行列式的证明

已知n阶行列式D=|a(ij)|≠0。证明：线性方程组
a11x1+a12x2+……+a1,n-1xn-1=a1n
a21x1+a22x2+……+a2,n-1xn-1=a2n
………………………………………………
an1x1+an2x2+……+an,n-1xn-1=ann
证明其无解

Answer 1

假设方程组有解（x1,x2,...,xn-1）
那么对于线性方程组
a11x1+a12x2+……+a1,n-1xn-1-a1n=0
a21x1+a22x2+……+a2,n-1xn-1-a2n=0
………………………………………………
an1x1+an2x2+……+an,n-1xn-1-ann=0
有解（x1,x2,...,xn-1,-1）
但是由于n阶行列式D=|a(ij)|≠0
对于上面方程组，只有零解，xn=0≠-1
产生矛盾
所以无解

Answer 2

由于行列式不为0，所以其对应矩阵的列向量组线性无关，从而向量(a1n,a2n,...,ann)^T不能由其他n-1列线性表示，这就等价于原方程组无解