Question

已知函数f(x)对任意x,y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)=-2/3.

已知函数f(x)对任意x,y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)=-2/3.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)早[-3,3]上的最大值与最小值.

Answer 1

1)求证:f(x)是奇函数，（2）f（x）在R上是减函数，（3）求函数f(x)在区间【-3，3】上的最大和最小值。
已知f(x+y)=f(x)+f(y)

∴令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0

令y=-x，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)
所以奇函数
第二问设存在x1，x2∈R且x2>x1

x2>x1，可设x2=x1+△x，其中△x>0

则f(x2)-f(x1)=f(x1+△x)-f(x1)=f(x1)+f(△x)-f(x1)=f(△x)

∵△x>0，∴f(△x)<0

即f(x2)-f(x1)<0，f(x1)>f(x2)

∴f(x)为R上的减函数

第三问解：由第二问可得f(x)为R上的减函数
故在[-3,3]上，f(x)max=f(-3),f(x)min=f(3).由f(x+y)=f(x)+f(y)及f(1)=-2,可求得f(2)=f(1+1)=2f(1)=-4,f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6,故在[-3,3]上，f(x)max=f(-3)=6,f(x)min=f(3)=-6.

Answer 2

1）设x>y 则x-y>0,f(x-y)<0
所以f(x)=f(y+(x-y))=f(y)+f(x-y)<f(y);
所以为减函数；
2）由于是减函数，最大值是f(-3),最小值是f(3);
f(0)+f(0)=f(0)
所以f(0)=0;
f(2)=f(1)+f(1)=2f(1);
f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2;
f(x)=f(x+y)-f(y)，
所以f(-1)=f(0)-f(1)=-f(1);
f(-2)=f(-1)-f(1)=-2f(1);
f(-3)=f(-2)-f(1)=-3f(1)=2;

Answer 3

1

Answer 4

1