Question

如图,平面直角坐标系中,点A(-3,0),点B(0,3),点C为X轴正半轴上一动点，过点A作AD⊥BC交Y轴于点E

（1）若点C的坐标为（2,0），试求点E的坐标
（2）若点C在X轴正半轴上运动，且OC＜3，其他条件不变，连接OD，求证∠BDO的度数不变
（3）若在点A处有一等腰直角三角形AMN绕点A旋转，且AM=MN，∠AMN=90°，连接BN，点P位BN的中点，试猜想OP与MP的数量关系和位置关系并证明你的结论

Answer 1

(1)解:根据面积关系可知:AC*OB=BC*AD,(3+2)*3=[√(OB^2+OC^2)]*AD.
即:15=(√13)*AD,AD=15/√13,CD=√(AC^2-AD^2)=10/√13.
∠AOE=∠ADC=90°;∠OAE=∠DAC.则⊿AOE∽⊿ADC.
AO/AD=OE/DC,3/(15/√13)=OE/(10/√13),OE=2.即点E为(0,2)
(2)结论有误,正确结论应该是:∠ADO的度数不变.
证明:∠ADB=∠AOB=90°,则A,O,D,B在同AB为直径的同一个圆上.
所以,∠ADO=∠ABO=45°.
(3)OP=MP; OP垂直MP.
证明:取AN的中点F,取AB的中点G,连接FM,FP,GP,GO.则MF⊥AN;GO⊥AB.
又点P为BN中点,故:PG=AN/2=MF;OG=AB/2=PF;PF∥AB,PG∥AN,则∠PGB=∠NAB=∠NFP.
又∠NFM=∠OGB=90度,则∠OGP=∠PFM(等角的余角相等).
∴⊿OGP≌⊿PFM(SAS),OP=PM;∠GOP=∠FPM.
OG垂直AB,PF平行AB,则PF垂直OG,∠GOP+∠OPF=90度.
则∠FPM+∠OPF=90度,故OP垂直MP.

追问

可不可以换种方式解答，我会追加分数的
平方根和绝对值对于我来说太深奥了、、、

追答

(1)AD垂直BC,则∠OAE+∠OCD=90度;
又BO垂直OC,则∠OBC+∠OCD=90度.
所以,∠OAE=∠OBC;
又AO=BO;∠AOE=∠BOC=90度.
故⊿AOE≌⊿BOC,得OE=OC=2,即点E的坐标为(0,2)

Answer 2

buzhidao