Question

用不等式的方法解决下面的问题（高中数学必修五中所学不等式）

某农场有一座废弃的猪圈，留有一面旧墙12米，现准备在该地重建一座猪圈，平面图形为矩形，面积为112平方米，已知：
1.修复一米旧墙的费用是建1米新墙费用的25%；
2.拆去1米旧墙用以改建1米新墙的费用是建1米新墙的50%；
3.为安装圈门，要在围墙的适当处留有1米的空缺.
试问，这里建造猪圈的围墙，应该怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最少？

Answer 1

假设矩形长宽分别为L、W为了节约成本，应当尽可能多用修复旧墙，矩形一条边完全使用旧墙。
墙体总长度=（L+W）*2-1 = 2L+2W-1
又有 L * W =112 所以 W = 112/L
总费用 = （2L+2W-1）*1 - L *（1-0.25）- （12 - L）*（1-0.5）
= 1.75L + 2W - 7
= 1.75L + 224/L - 7
要使总费用最低，就要1.75L+224/L最小
1.75L+224/L >= 2 * 根号（1.75L * 224/L），仅当1.75L=224/L时取等号
即L=8根号2，W= 112/L = 7根号2
综上利用旧墙8根号2米，建造一个长8根号2，宽7根号2的矩形猪圈总费用最少。
上面考虑了长小于12米的情况，长大于12米的情况总费用更大，此处省略不说了