Question

a已知数列{an}的前n项和Sn=-an-(1/2)^n-1+2，令bn=2^nan,求证数列{bn}是等差数列,an的通项公式，

Answer 1

Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2
1. n=1时 S1=-a1-1+2 解得a1=1/2
2. n>1时 S(n-1)=-a(n-1)-(1/2)^(n-2)+2
所以an=Sn-S(n-1)
=-an+a(n-1)+(1/2)^(n-2)
2an=a(n-1)+(1/2)^(n-2)
两边同乘以2^(n-1)得
2^nan-2^(n-1)a(n-1)=2
设bn=2^nan 则b(n-1)=2^(n-1)a(n-1)
所以bn-b(n-1)=2
故{bn}是公差为2的等差数列
首项b1=2a1=1
所以bn=1+2(n-1)=2n-1
即2^nan=2n-1
所以an=(2n-1)/2^n

Answer 2

Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2
(1)Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2
所以 S(n-1)=-a(n-1)-(1/2)^(n-2)+2
相减
Sn-S(n-1)=an=-an-(1/2)^(n-1)+a(n-1)+(1/2)^(n-2)
(1/2)^(n-2)-(1/2)^(n-1)=(1/2)^(n-2)-1/2*(1/2)^(n-2)=(1/2)^(n-1)
2an=a(n-1)+(1/2)^(n-1)
同乘以2^(n-2)
an*2^(n-1)-a(n-1)*(2)^(n-2)=1/2
即数列{an*2^(n-1)}是以公差为1/2的等差数列,
首项a1*2^0=a1=S1=-a1-(1/2)^(1-1)+2=1-a1,a1=1/2
所以
an*2^(n-1)=a1+(n-1)*1/2=n/2
an=n/2*(1/2)^(n-1)=n*(1/2)^n
bn=2^n*an=n，
所以bn是等差数列
(2)Cn=(n+1)/n*an=Cn=(n+1)/n*(n*(1/2)^n)=(n+1)*(1/2)^n
Tn=c1+c2+.....+cn=2*(1/2)+3(1/2)^2+4(1/2)^3+......+(n+1)*(1/2)^n
1/2Tn=1/2(c1+c2+.....+cn)=2*(1/2)^2+3(1/2)^3+4(1/2)^4+......+(n+1)*(1/2)^(n+1)
相减得
1/2Tn=2*(1/2)+(1/2)^2+(1/2)^3+......+(1/2)^n -(n+1)*(1/2)^(n+1)
=1/2+(1/2)(1-(1/2)^n)/(1-1/2)-(n+1)*(1/2)^(n+1)
=1/2+1-(1/2)^n-(n+1)*(1/2)^(n+1)
=3/2-(n+3)/2*(1/2)^n.

希望可以帮到你哟~~

Answer 3

.数列{an}的前n项和Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2
当n=1时，S1=a1=-a1+1 a1=1/2
当n>=2时，Sn-1=-an-(1/2)^(n-2)+2
Sn-Sn-1=an=-an+an-1-(1/2)^(n-1)+(1/2)^(n-2)
2an=an-1+(1/2)^(n-1)
2a+1=an+(1/2)^n
两式联立得到4an+1+an-1=4an
又bn=2^n*an
bn+1=2^n+1*an+1=2^n*2an+1
bn-1=2^n-1*an-1=2^n*(1/2an-1)
bn+1+bn-1=2^n(2an+1+1/2an-1)
=2^n*(2an)=2bn
所以数列bn是等差数列
公差d=b2-b1=2^2*a2-a1=1
bn=n an=n/2^n
2.cn=(n+1)/n*an=(n+1)/2^n=n/2^n+(1/2)^n
设a=1/2+2/4+3/8+...+n/2^n
b=1/2+1/4+1/8+...+1/2^n

因为a = 1/2+2/4+3/8+...+(n-1)/2^(n-1)+n/2^n
所以2a=1+2/2+3/4+4/8+...+n/2^(n-1)
所以2a-a=a=[1+1/2+1/4+1/8+....+1/2^(n-1)]-n/2^n
=2-2/2^n-n/2^n
而b=1-1/2^n
所以Tn=a+b=3-(n+3)/2^n

Answer 4

Sn=-an-1/2^n-1+2(n>=2).......1
Sn-1=-a(n-1)-1/2^(n-2)+2.......2
1-2得：an=an-1-an-1/2(n-2)
an=a(n-1)/2-1/2(n-1)
上式左右同乘以2^n得
2^nan=2^(n-1)a(n-1)-2
即bn=b(n-1)-2
即bn为等差数列。