Question

高一数学题 要详细解答 高手帮忙 谢谢

设符号"@"是数集A中的一种运算.如果对于任意的X,Y∈A都有X@Y∈A,则称运算@对集合A是封闭的.
设A={X|X=m+(根号下2)n,m,n∈Z},判断A对通常的实数的乘法运算师父封闭?

Answer 1

A={X|X=m+(根号下2)n,m,n∈Z},能不能把这个式子写清楚一些，是不是：
A={X|X=m+（√2）n,m,n∈Z}？
如果是的话就很简单，证明如下：
证：
设x=m+（√2）n，y=p+（√2）q都∈A，（其中m、n、p、q均∈Z）
则xy=mp+2qn+（√2）np+（√2）qm=（mp+2qn）+（√2）（np+qm），
又因为m、n、p、q均∈Z，
所以mp+2qn和np+qm均∈Z（根据Z在乘法和加法运算下的封闭性质），
所以A对于通常的实数的乘法运算封闭。

Answer 2

设两个元素
a+b根2 c+d根2
（a+b根2）（c+d根2）=(ab+2cd)+(ac+bd)根2
这个形式显然还属于A
所以封闭