Question

基本不等式 x>0 求x/x平方+1 的最大值 求 x根号下(1-2x平方)的最大值

Answer 1

（1）
y=x/(x²+1)=1/(x+1/x)
当x>0时，x+1/x≥2
所以0<1/(x+1/x)≤1/2
所以x/(x²+1)的最大值为1/2（在x=1时取得）

（2）
y=x√(1-2x²)
=√2/2*√[(2x²)*(1-2x²)]
≤√2/2*[(2x²)+(1-2x²)]/2
=√2/4
所以x√(1-2x²)的最大值为√2/4（在x=1/2时取得）

Answer 2

令y=x/(x^2+1)
yx^2-x+y=0
Δ1-4y^2>=0
-1<=2y<=1
-1/2<=y<=1/2
又x>0,则y>0
所以0<y<=1/2
最值为1/2,当x=1时取得

令y=x√(1-2x^2),其定义域为1-2x^2>=0,x<=√2/2
y=√x^2(1-2x^2)
令t=x^2
则y=√t(1-2t)=√-2t^2+t=√-2(t-1/4)^2+1/8
此函数在t=1/4时取得最大值√1/8=√2/4
即x=1/2时取得最大值√2/4