Question

已知a＞0 b＞0 且a+b=1 求证 （1）ab≤0.24 （2）（1+1/a）（1+1/b)≥9

rt
（1）是ab≤0.25 打错..........

Answer 1

证明：（1）a+b=1，则（a+b）²=1，而a²+b²≥2ab，即2ab≤a²+b²=（a+b）²-2ab 变形得
4ab≤（a+b）²=1 ∴ab≤1/4，而a≠b，故ab小于等于0.24
（2）（1+1/a）（1+1/b)≥9
左边=1+1/b+1/a+1/ab=1+（a+b）/ab+1/ab=1+2/ab，∵ab≤1/4，∴2/ab=2÷1/4=8，即2/ab≤8，∴1+2/ab≥9

Answer 2

ab≤[(a+b)/2]^2 = 0.25
(1+1/a)(1+1/b)
= (1+1+b/a)(1+1+a/b)
= 4 + 2a/b + 2b/a + 1
≥5 + 2√[(2a/b)(2b/a)]
= 5+4
= 9