Question

已知斜率为2的直线经过椭圆X^2/5+Y^2/4=1的右焦点F1，交椭圆于A、B，求弦长AB

Answer 1

X^2/5+Y^2/4=1的右焦点F1为（1,0）
所以AB：Y=2X-2代入椭圆得：
X^2/5+（2X-2）^2/4=1
变形得：6X²-10X=0
解得：X1=0，X2=5/3
所以X2-X1=5/3，又因为AB斜率=2，所以Y2-Y1=2*5/3
所以AB=5根号5/3

Answer 2

方法一（直接代入焦点弦长公式）：
设直线于x轴的倾斜角为a,则tana=2,∴sina=2√5/5,sin²a=4/5
焦点弦长公式AB=2ab²/(b²+c²sin²a)=2√5*4/(4+4/5)=5√5/3
方法二（常规法）
a=√5，e=1/√5=√5/5,交点为(1,0)
设A(x1,y1)B(x2,y2)
∴AB=a-ex1+a-ex2=2a-e(x1+x2)=2√5-[(x1+x2)/√5] ...(1)
直线AB:y=2x-2,代入椭圆方程化简得：3x²-5x=0,∴x1+x2=5/3
代入(1)式求得AB=5√5/3