Question

卓里奇《数学分析》上的2个问题

1.试证对于平面上平移、旋转、位似变换（位似比小于1）的任意复合（不包括单纯的平移），总存在一个不动点。
2.该书对复合函数的定义中指出f：X→Y，g：Y→X，且g定义在f的值域（设为B）上，那么有Y包含于B，又显然有B包含于Y，那么有B=Y，这说明f必须是满射，是吗？换句话说如果X是一元集，Y是二元集，那么f与g不能复合。但是后面有一道习题却出现了f与g复合的情况，矛盾了！
我个人认为f必须是满射是荒谬的，张筑生的数学分析新讲上就说只需要f的值域(B)包含于g的定义域(Y)，那么“g定义在f的值域”这句话是不是有问题（这两种说法显然是矛盾的），或者是我理解错了？

Answer 1

第一题的思路是对平面上任意点x，考虑点列x,f(x),f2(x),f3(x).....其中fi(x)是f对x的i次复合。因为位似比小于1，这是一个cauchy点列，必收敛于平面上一点，此点即是不动点。
这题在泛函里有个更一般的结果叫“压缩映射原理”；对于这道题，不论是否是平移旋转位似，只要任何两点在映射下的像点的距离与原距离的比有小于1的上界，就一定有唯一不动点。

第二题个人认为没有必要较这个真，有的定义在不同书里不同问题下都有细微差别，像什么原映射逆映射是不是单射满射，定义域值域哪个包含哪个，什么条件下有意义，都是人为定义的。只要遇到具体问题的时候思维严密就行了。

追问

第一题我还没学泛函分析，而且这道习题出现在第一章，极限都还没有学，可不可以这样解：即对平面上任意点x(x为该点所对应的复数)，可以证明平移、旋转、位似变换均是对x作变换：ax+b(a,b均是复数且由变换的各参数决定），于是其复合也是这样的变换f:x→ax+b，这样不动点就是满足a'x+b'=x的点x，解方程即可。第二题我个人认为还是要追求定义的严谨性的。即g的定义域与f的值域究竟是什么关系，包含还是包含于？

Answer 2

这个我看了，f不必为满射，只需使f的值域包含在g的定义域里，g的定义域相当于f的到达域，书上说的“g定义在f的值域”应该就是指这一点。可能是翻译的问题。

Answer 3

设全班x人
x - (2分之1x + 4分之1x + 7分之1x)＜6
28分之3x＜6
x＜56
56人

Answer 4

我也学数学分析