Question

在三角形ABC中，AC=BC，<ACB=90,点D为AC中点。E为线段DC上任意一点，将线段DE绕D逆时针旋转90，得到线段DF

连接DF.CF,过点F作FH垂直FC，交直线AB于H，判断FH与FC的数量关系，并证明

Answer 1

CF=FH

证明：延长DF交AB于M

因为∠FDC=∠DCB=90°

所以DM平行于CB

又因为D为AC中点

所以DM为△ABC中位线，AD=CD=1/2AC

所以DM=1/2BC

因为AB=AC

所以DM=CD

因为DE=DF

所以CE=FM

因为DM平行于BC

所以∠AMD=∠ABC=45°

所以∠FMH=135°

因为∠DEF=45°

所以∠CEF=135°

所以∠FMH=∠CEF

所以∠FMH=∠FEC

因为∠DFE+∠EFC+∠CFH+∠HFM=180°且∠DFE=45°，∠CFH=90°

所以∠EFC+∠HFM=45°

因为∠ECF+∠EFC=∠DEF=45°

所以∠EFC+∠HFM=∠ECF+∠EFC

所以∠FMH=∠ECF

在△FEC和△HMF中

∠FMH=∠ECF

CE=FM

∠FMH=∠CEF

所以△FEC全等于△HMF

所以CF=FH 

把楼上这位人兄的再贴一遍，十分赞同

Answer 2

CF=FH
证明：延长DF交AB于M
因为∠FDC=∠DCB=90°
所以DM平行于CB
又因为D为AC中点
所以DM为△ABC中位线，AD=CD=1/2AC
所以DM=1/2BC
因为AB=AC
所以DM=CD
因为DE=DF
所以CE=FM
因为DM平行于BC
所以∠AMD=∠ABC=45°
所以∠FMH=135°
因为∠DEF=45°
所以∠CEF=135°
所以∠FMH=∠CEF
所以∠FMH=∠FEC
因为∠DFE+∠EFC+∠CFH+∠HFM=180°且∠DFE=45°，∠CFH=90°
所以∠EFC+∠HFM=45°
因为∠ECF+∠EFC=∠DEF=45°
所以∠EFC+∠HFM=∠ECF+∠EFC
所以∠FMH=∠ECF
在△FEC和△HMF中
∠FMH=∠ECF
CE=FM
∠FMH=∠CEF
所以△FEC全等于△HMF
所以CF=FH

Answer 3

CF=FH
证明：延长DF交AB于M
因为∠FDC=∠DCB=90°
所以DM平行于CB
又因为D为AC中点
所以DM为△ABC中位线，AD=CD=1/2AC
所以DM=1/2BC
因为AB=AC
所以DM=CD
因为DE=DF
所以CE=FM
因为DM平行于BC
所以∠AMD=∠ABC=45°
所以∠FMH=135°
因为∠DEF=45°
所以∠CEF=135°
所以∠FMH=∠CEF
所以∠FMH=∠FEC
因为∠DFE+∠EFC+∠CFH+∠HFM=180°且∠DFE=45°，∠CFH=90°
所以∠EFC+∠HFM=45°
因为∠ECF+∠EFC=∠DEF=45°
所以∠EFC+∠HFM=∠ECF+∠EFC
所以∠FMH=∠ECF
在△FEC和△HMF中
∠FMH=∠ECF
CE=FM
∠FMH=∠CEF
所以△FEC全等于△HMF
所以CF=FH

Answer 4

CF=FH
证明：延长DF交AB于M
因为∠FDC=∠DCB=90°
所以DM平行于CB
又因为D为AC中点
所以DM为△ABC中位线，AD=CD=1/2AC
所以DM=1/2BC
因为AB=AC
所以DM=CD
因为DE=DF
所以CE=FM
因为DM平行于BC
所以∠AMD=∠ABC=45°
所以∠FMH=135°
因为∠DEF=45°
所以∠CEF=135°
所以∠FMH=∠CEF
所以∠FMH=∠FEC
因为∠DFE+∠EFC+∠CFH+∠HFM=180°且∠DFE=45°，∠CFH=90°
所以∠EFC+∠HFM=45°
因为∠ECF+∠EFC=∠DEF=45°
所以∠EFC+∠HFM=∠ECF+∠EFC
所以∠FMH=∠ECF
在△FEC和△HMF中
∠FMH=∠ECF
CE=FM
∠FMH=∠CEF
所以△FEC全等于△HMF
所以CF=FH

Answer 5

证明：延长DF交AB于点G
∠CDG=∠ACB=90
DG‖BC
DG为中位线
DG=1/2BC=1/2AC(AB=AC)
DC=1/2AC
DG=DC
DF=DE
DG-DF=DC-DE
FG=EC(1)
∠CDG=90,DE=DF
∠DEF=∠DFE=45
∠CEF=180-∠DEF=135
同理∠DGH=135
所以∠DGH=∠CEF(2)
∠ACF+∠CFD=90
∠GFH+∠CFD=90
所以∠ACF=∠GFH(3)
由（1）（2）（3）
△CEF≌△FGH
CF=FH
(2)结论不变，CF=FH