Question

已知a,b＞0，且a≠b比较a^a*b^b与(ab)^(a+b/2)的大小 跪求 急急急！！！

Answer 1

a^a*b^b与(ab)^(a+b/2)

解：a^a*b^b÷(ab)^(a+b/2)
=a^[(b-a)/2]*b^[(a-b)/2]
=(a/b)^[(b-a)/2]
=M
(1) a>b, a/b>1 (b-a)/2<0 M<1
(2) a<b 0<a/b<1 (b-a)/2>0 M<1
所以 a^a*b^b÷(ab)^(a+b/2)<1
所以 a^a*b^b<(ab)^(a+b/2)

Answer 2

a^a*b^b与(ab)^(a+b/2)同时约去一个ab，现在就相当于只比较^ab与(a+b/2)的大小，
由均值不等式得：a+b大于等于2^ab,所以(a+b/2)大于等于^ab

Answer 3

做商
a^a*b^b/{(ab)^[(a+b)/2]}
=a^a/a^[(a+b)/2]*{b^b/b^[(a+b)/2]}
=a^[a-(a+b)/2]*b^[b-(a+b)/2]
=a^[(a-b)/2]*b^[(b-a)/2]
=a^[(a-b)/2]*b^[-(a-b)/2]
=(a/b)^[(a-b)/2]
当a≥b>0时,a/b≥1,a-b≥0--->(a/b)^[(a-b)/2]≥1
当b>a>0时,0<a/b<1,a-b<0--->(a/b)^[(a-b)/2]>1
总之，无论a、b是什么正实数，都有a^a*b^b≥(ab)^[(a-b)/2]成立。（a=b时，“=”成立）