Question

求·二重积分∫∫(x+y)^2dxdy,其中积分区域D:x^2+y^2≤4

Answer 1

计算过程如下：

∫∫(x+y)^2dxdy

=∫∫(x²+y²+2xy)dxdy

=∫∫(x²+y²)dxdy 

由于函数2xy关于x为奇函数，区域D关于y轴对称。

所以：∫∫2xydxdy=0

原算式=∫[0,2π]dθ∫[0,2]r²×rdr

=2π×r^4/4|[0,2]

=8π

二重积分的意义：

二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

Answer 2

∫∫(x+y)^2dxdy=∫∫(x²+y²+2xy)dxdy=∫∫(x²+y²)dxdy
(这里由于函数2xy关于x为奇函数, 区域D关于y轴对称, 所以∫∫2xydxdy=0)
=∫[0,2π]dθ∫[0,2]r²×rdr=2π×r^4/4|[0,2]=8π
这里用了极坐标