Question

数学数列试题、急急急！

已知{an}是公差为1的等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，Sn,Tn分别是{an},{bn}的前n项和，且a6=b3,S10=T4+45.⑴求数列{an}的通项公式。⑵若Cn=an*3^n,求数列{Cn}的前n项和Xn.
跪求～～

Answer 1

(1)
设 a6=b3=a 则
a(n) = a + (n-6)
b(n) = a*2^(n-3)
且
S(10) = [a(1)+a(10)]*10/2= [(a(6)-5)+(a(6)+4)]10/2 = 5(2a-1)
T(4) = b1*(1-2^4)/(1-2)=(b(3)/2^2)(2^4-1) =15a/4
由
S(10)=T(4) + 45
解出：
a=8
因此立即得到通项公式：
a(n) = n+2
b(n) = 2^n

⑵若Cn=an*3^n,求数列{Cn}的前n项和Xn.
C(n) = a(n)*3^n = (n+2)*(3^n)
Xn = 3×3^1 + 4×3^2 + 5×3^3 + ... + (n+1)×(3^(n-1))+(n+2)×(3^n)
而
3Xn = 3×3^2 + 4×3^3 + ... +n×(3^(n-1))+ (n+1)×(3^n)+(n+2)×(3^(n+1))
上面两个式子相减得到：
-2Xn = 3×3^1 +3^2+3^3+3^4+...+3^(n-1)+3^n - (n+2)×(3^(n+1))
= 6 + (3+3^2+3^3+3^4+...+3^(n-1)+3^n) -(n+2)×(3^(n+1))
= 6 + 3(1-3^n)/(1-3) -(n+2)×(3^(n+1))
= 9/2 - [(2n+3)/2]*3^(n+1)
所以
Xn = [(2n+3)/4]*3^(n+1) - 9/4