Question

一道数学题，求助，求助

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c属于R）满足下列条件：
1 当X属于R时，f(x）的最小值为0，且f(x-1)=f(-x-1)成立
2 当x属于（0，5）时，x≤f(x)≤2/x-1/+1恒成立

（1）求f(1）的值
（2）求f(x)的解析式
（3）求最大的实数m(m＞1），使得存在实数t,只要当x属于[1，m]时，就有f(x+t)≤x成立

Answer 1

(1)当X∈(0，5)时，X≤F(X)≤2|X-1|+1恒成立。
令其中的x等于1， 则有
1≤F(1)≤2|1-1|+1, 即1≤F(1)≤1，所以 F(1)=1 .

(2)F(X-1)=F(-X-1)
所以二次函数F(X)=a*x^2+b*x+c的图形以x=-1为对称轴(a,b,c∈X)，
即 F(X)=a(x+1)^2+k，
当X∈R时，F(X)的最小值为0，所以必有a>0，k=0。即 F(X)=a(X+1)^2.
又因为F(1)=1，所以a=1/4，即F(X)=(1/4)*(X+1)^2.

(3)设G(T)=F(X+T)-X=(1/4)*(X+T+1)^2-X
=(1/4)*[T^2+2*(X+1)*T+(X-1)^2]
按题意的关键要求是“存在T，使G(T)≤0成立”，
由于G(T)是二次函数，其图形是开口向上的抛物线，
所以要使G(T)≤0有解，必须有△≥0成立，
即[2*(X+1)]^2-4*(X-1)^2≥0，解之得X≥0．在X≥0时，
不等式T^2+2*(X+1)*T+(X-1)^2≤0的解为-(X+1)-2√x≤T≤-(X+1)+2√x，
即-(1+√X)^2≤T≤-(1-√X)^2.

记解集[-(1+√X)^2,-(1-√X)^2]为U(X)，在X≥0时，
由于U(X)的左端点和右端点都单调减少，
即1≤M时，-(1+√M)^2≤-(1+√1)^2，-(1+√M)^2≤-(1+√1)^2
所以按题意要求两个集合U(1)与U(M)之交集非空，
所以必须有-(1+√1)^2≤-(1-√M)^2，解得M≤9．
【结论】M的最大值为9．

希望可以帮你:)