Question

已知f(x)=2x/(x+1)证明f(x)在[0,2]上是单调增函数

求f(x)在[0,2]上的最大值和最小值
求f(x)=x+√x的最小值

Answer 1

证明:设x1,x2属于[0,2]，且x1<x2,则x1-x2<0
f(x1)-f(x2)=2x1/(x1+1)-2x2/(x2+1)=[2x1(x2+1)-2x2(x1+1)]/(x1+1)(x2+1)=2(x1-x2)/(x1+1)(x2+1)
因为x1,x2属于[0,2]，所以(x1+1)(x2+1)
所以2(x1-x2)/(x1+1)(x2+1)<0，即f(x1)-f(x2)<0
从而f(x1)<f(x2)
所以f(x)在[0,2]上是单调增函数
因为f(x)在[0,2]上是单调增函数
所以当x=0时f(x)有最小值为0，当x=2时f(x)有最大值是4/3
(2)设√x=t，则t>=0
此时f(x)=t^2+t=(t+1/2)^2-1/4
所以当t=1/2时，f(x)有最小值是-1/4

Answer 2

你是高中还是大学啊
大学的话，直接对函数求导，得出导数大于0就可以了
高中的话，你就令0<=x1<x2<=2；
然后证明f(x2)-f(x1)>0就OK了，这个是根据单调函数的基本定义做的
式子打出来比较麻烦，网页上不方便操作。如果需要，晚上再跟你详细讨论