Question

高数，求过点（0，2，4）且同时平行于平面x+2z=1和y-3z=2的直线方程

Answer 1

直线方程: -x/2=(y-2)/3=z-4

解答过程：

平面x+2z=1 法向量为 ( 1, 0, 2 )，

平面y-3z=2 法向量为 ( 0, 1,-3 )，

因为直线和两个平面平行，所以平面的法线与直线垂直

直线的方向向量a=（1，0，2）差乘（0，1，-3）=(-2,3,1)

可以写出直线的点法式方程：(x-0)/(-2) = (y-2)/3 = (z-4)/1

化简为：-x/2=(y-2)/3=z-4。

拓展资料

从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，两直线平行；有无穷多解时，两直线重合；只有一解时，两直线相交于一点。

常用直线向上方向与 X 轴正向的 夹角（ 叫直线的倾斜角 ）或该角的正切（称直线的斜率）来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。

直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定。在空间，两个平面相交时，交线为一条直线。因此，在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。

Answer 2

平面x+2z=1的法向量是(1,0,2)
平面y-3z=2的法向量是(0,1,-3)
直线与这两个平面平行,也就是直线的方向向量与这两个平面的法向量都垂直,所以对两个平面的法向量进行叉乘运算,取行列式：
i j k
1 0 2
0 1 -3
解得：-2i+3j+k,即直线的方向向量为(-2,3,1)
所以过(0,2,4),方向向量为(-2,3,1)的直线方程是：x/-2=(y-2)/3=(z-4)/1

扩展资料：

法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。

定义

三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平的向量。

法线是与多边形的曲面垂直的理论线，一个平面存在无限个法向量。在电脑图学的领域里，法线决定着曲面与光源的浓淡处理，对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。

如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。

垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。

计算

对于像三角形这样的多边形来说，多边形两条相互不平行的边的叉积就是多边形的法线。

用方程ax+by+cz=d表示的平面，向量(a,b,c)就是其法线。

如果S是曲线坐标x(s,t)表示的曲面，其中s及t是实数变量，那么用偏导数叉积表示的法线为：

 

如果曲面S用隐函数表示，点集合(x,y,z)满足 F(x,y,z)=0，那么在点(x,y,z)处的曲面法线用梯度表示为：

 

如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。例如，圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线，但是圆锥的法线是几乎处处存在的。通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。

参考资料：百度百科-法向量

Answer 3

平面x+2z=1和y-3z=2的交线为：

(x-1)/(-2) = (y-2)/3 = (z-0)/1

所求直线应该和这条直线平行

而它过点(0,2,4),

所以，它的方程为：(x-0)/(-2) = (y-2)/3 = (z-4)/1

从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，两直线平行。

有无穷多解时，两直线重合；只有一解时，两直线相交于一点。常用直线向上方向与 X 轴正向的 夹角（ 叫直线的倾斜角 ）或该角的正切（称直线的斜率）来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。

扩展资料

求对称图形

⑴点（x1,y1）关于点(x0,y0)对称的点：（2x0-x1,2y0-y1)

⑵点（x0,y0）关于直线Ax+By+C=0对称的点：

( x0-2A(Ax0+By0+C)/(A^2+B^2) ，y0-2B(Ax0+By0+C)/(A^2+B^2) )

⑶直线y=kx+b关于点（x0,y0）对称的直线：y-2y0=k(x-2x0)-b

⑷直线1关于不平行的直线2对称：定点法、动点法、角平分线法

Answer 4

平行于 x+2z=1且过点(0,2,4)的平面 x+2z+[-(0+2*4)]=0
平行于 y-3z=2且过点(0,2,4)的平面 y-3z+[-(2-3*4)]=0
所以，直线方程 x+2z-8=0 ∩ y-3z+10=0 为所求。

追问

平行于某个平面的方程你是根据什么定理或公式求的，可以解释一下吗？谢谢，解释完立即采纳

追答

两平面平行，则其《法向量》相同。
所以，若平面α与平面β Ax+By+Cz+D=0 平行，则 平面α为 Ax+By+Cz+D'=0 。
代入α上的点坐标，即可求出 D' 。

Answer 5

平面x+2z=1和y-3z=2的交线为：
(x-1)/(-2) = (y-2)/3 = (z-0)/1
所求直线应该和这条直线平行
而它过点(0,2,4),

所以，它的方程为：(x-0)/(-2) = (y-2)/3 = (z-4)/1