Question

若不等式mx²-2x+1＜0对满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围

Answer 1

方法一；函数法（把二次函数看成一次函数）
视f(x)=mx^2-2x-m+1中m为自变量 问题等价
g(m)=(x^2-1)m-2x+1
当-2<=m<=2时 对一定范围的x, g(m)<0
因为g(m)的图像是条线段
只要g(-2)<0且g(2)<0
求解不等式组
得到x取值范围 （1-√3）/2＞x＞-1

方法二；分离参数法
mx＾-2x-m+1＜0
x＾-1＞0时
m＜（2x-1）/（x＾-1）
∵-2<m<2
∴-2＜m＜（2x-1）/（x＾-1） 和（2x-1）/（x＾-1）≥2
由-2＜m＜（2x-1）/（x＾-1）得：
x＞（-1+√7）/2 or x＜（-1-√7）/2
∵x＾-1＞0
∴取x＞1 or x＜（-1-√7）/2
由（2x-1）/（x＾-1）≥2得：
（1-√3）/2≤x≤（1+√3）/2
∵x＾-1＞0
∴无解
当x＾-1＜0时
m＞（2x-1）/（x＾-1）
∵-2<m<2 ∴ 2＞（2x-1）/（x＾-1）
或（2x-1）/（x＾-1）≤-2
由2＞（2x-1）/（x＾-1）得：
x＞（1+√3）/2 or x＜（1-√3）/2
∵x＾-1＜0
∴（1+√3）/2＜x or （1-√3）/2＞x＞-1
由（2x-1）/（x＾-1）≤-2得：
（-1-√7）/2≤x≤（-1+√7）/2
∵x＾-1＜0
∴-1＜x≤（-1+√7）/2
∴（1-√3）/2＞x＞-1