Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有an是n与Sn的等差中项

（1）求证：an=2a（n-1）+1（n≥2）
（2）求证：数列{a（n+1）}为等比数列
（3）求数列{an}的前n项和Sn

Answer 1

an是n与Sn的等差中项,即：
an -n=Sn -an,亦即:2an=n+Sn
令n=1,代入得a1=1
（1）证：
当n≥2时：
2an=n+Sn ;
2a(n-1)=(n-1)+S(n-1)
二式相减:2an-2a(n-1)=1+Sn -S(n-1)
再由an=Sn-S(n-1)代入得：
an=2a（n-1）+1
证毕！
(2)由上述n≥2时：
an=2a（n-1）+1
左右各+1即：1+an＝2a(n-1)+2=2[1+a(n-1)]
显然，{1+an}为q=2的等比数列，首项1+a1=2
故1+an=2*2^(n-1)
an=-1+2^n
(3)
Sn＝-n+(2^1+2^2+……+2^n)
＝2－n+2^(n+1)

Answer 2

（1），∵对任意正整数n都有an是n与Sn的等差中项,
∴2[an-a(n-1)]=Sn-S(n-1)+1，（n≥2）
又∵Sn-S(n-1)=an
∴an=2a（n-1）+1（n≥2）
（2）∵an=2a（n-1）+1（n≥2）
∴an+1=2[a（n-1）+1]
∴an+1/[a（n-1）+1=2
(3)∵对任意正整数n都有an是n与Sn的等差中项,
∴2a1=1+a1,解得a1=1.
∴an +1是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴an +1=1*2的n-1次方，
an=2的n-1次方 -1

Answer 3

（1）有题目中an是n与Sn的等差中项可知，2an=n+Sn
所以应有 a（n-1）=n-1+S（n-1）两式相减，因为Sn-S（n-1）=an得出an=2a（n-1）+1其中n≥2（因为对其处理时都是n-1）
（2）由第一问可知an=2a（n-1）+1，左右两边都加上1可得an+1=2a（n-1）+2，也就是an+1=2[a（n-1）+1]，n=1时有 2a1=1+a1，所以a1=1，a1+1=2，所以数列{an+1}是一个公比为2的等比数列
（3）由第二问可知数列{an+1}为首项为2，公比为2的等比数列，也就是说an+1=2^n,所以an=2^n-1,Sn=-n+(2^1+2^2+……+2^n)
＝2－n+2^(n+1)

Answer 4

第二小问有没有打错啊？应该是{an+1}为等比数列吧？