Question

在三角形abc中，（a+b+c）(a+b-c)=3bc,求A=?

Answer 1

+b-c)(a+b+c)=3ab,sinC=2cosAsinB,三角形ABC是(等边三角形)
(a+b-c)(a+b+c)=3ab
===> [(a+b)-c][(a+b)+c]=3ab
===> (a+b)^2-c^2=3ab
===> a^2+b^2-ab=c^2
而，由余弦定理有：
c^2=a^2+b^2-2abcosC
所以：a^2+b^2-ab=a^2+b^2-2abcosC
===> cosC=1/2
===> C=60°………………………………………………（1）
又因为：A+B+C=180°
所以，C=180°-(A+B)
所以，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
已知，sinC=2cosAsinB,所以：
sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB
===> sinAcosB-cosAsinB=0
===> sin(A-B)=0
===> A-B=0
所以，A=B…………………………………………………（2）
由(1)(2)知：
△ABC为等边三角形。