Question

设椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的上顶点为A，椭圆C上两点P,Q在在x轴上的射

设椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的上顶点为A，椭圆C上两点P,Q在在x轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2，直线PQ的斜率为3/2过点A且与AF1垂直的直线与x轴交于点B，△AF1B的外接圆为M。（1）求椭圆的离心率（2）直线3x+4y+1/4a^2=0与圆M相交于E,F两点，且向量ME*向量MF=-1/2a^2,求椭圆的方程

Answer 1

（1）连接QF1 QF2，设OF2=2n（n>0）,则QF2=3n，OF1=2n，由勾股定理，F1Q=5n，所以5n+3n=2a，2n+2n=2c，e=c/a=1/2
（2）三角形AOB与三角形F1OA相似，可得OB=b^2/c,又知F1（-c，0）易得中点M坐标，MB为圆半径，可得圆M方程。联立直线与圆的方程，消去y可得一个关于x的方程，设E（x1,y1）F(x2,y2),在关于x的方程中用韦达定理可得x1+x2、 x1*x2分别与a b c 关系。又有向量关系，带入x1 y1 x2 y2 m坐标，再由直线方程将向量等式中y1 y2用x1x2表示，化为与x1+x2 x1*x2有关的等式，带入x1+x2 x1*x2,化简可得a b c 又一等式，联立第一问c/a=1/2即可求得a b