Question

（请各位大侠不吝赐教）判断下列方程右边所给函数是否为该方程的解？如果是解，是通解还是特解？

（1）y''+y=0,y=C1sinx+C2sinx,(C1,C2为任意常数)
（2）(x+y)dx=-xdy,y=(C-x^2)/2X（C为任意常数）
请重点回答第一题是什么解（应该不符合通解的定义，也不符合特解的定义），第二题的解答过程，谢谢！

Answer 1

解：（1）∵y=C1sinx+C2sinx
∴y'=C1cosx+C2cosx
y''=-C1sinx-C2sinx
=-y
==>y''+y=0
∴y=C1sinx+C2sinx是y''+y=0的解
∵方程y''+y=0通解是y=Asinx+Bcosx (A,B是任意常数)
而y=C1sinx+C2sinx,(C1,C2为任意常数)
=(C1+C2)sinx
这相当于通解中当B=0时的特解
∴y=C1sinx+C2sinx,(C1,C2为任意常数)是y''+y=0的特解；
（2）∵y=(C-x^2)/2x（C为任意常数）
==>2xy=C-x^2
==>2xdy+2ydx=-2xdx
==>xdy+ydx=-xdx
==>xdx+ydx=-xdy
==>(x+y)dx=-xdy
∴y=(C-x^2)/2x (C为任意常数)是(x+y)dx=-xdy的通解。