Question

∫[0,+∞) e^(-x^2)dx等于多少

请给出过程,谢谢!

Answer 1

∫e^(-x^2)dx = Γ(1/2) / 2 = √π / 2

解题过程如下：

Γ(x)=∫t^(x-1)/e^t dt 积分限为0到正无穷大

取x=3/2得

Γ(1/2)=∫t^(-1/2) * e^(-t)dt = ∫ 1/x * e^(-x^2) d(x^2)=2∫e^(-x^2)dx

余元公式为

Γ(x)*Γ(1-x)=π / sinπx

所以Γ(1/2) = √π

所以

∫e^(-x^2)dx = Γ(1/2) / 2 = √π / 2

扩展资料

伽玛函数表达式：Γ（x)=∫e^(-t)*t^(x-1）dt （积分的下限是0，上限是+∞） 利用分部积分法（integration by parts）我们可以得到

Γ（x)=（x-1）*Γ（x-1） ，而容易计算得出Γ⑴=1,

由此可得，在正整数范围有：Γ（n+1）=n!

在概率的研究中有一个重要的分布叫做伽玛分布：

f(x)=λe^(-λx）（λx)^(x-1）/Γ（x) x>=0

=0 x

函数性质

通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质：

Γ（x+1）=xΓ(x)

于是很容易证明，伽马函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓。

Answer 2

请看676889707的贡献

这个做法比较严密

Answer 3

你学过吗首先要看下由ABCD组成的是不是长方形，若不是长方形而是梯形则不可求。
若是长方形则：由条件可以推出，以AO为半径的圆面积：S圆=100π。
因为圆半径相同，所以AO=AE，可以推出AG=EG=BH=FH=5√2,AGE和BHF组成的三角面积共为S=50任意常数C=无穷你洗洗睡吧 还有,你
图中，阴影部分为半个圆减去两个三角形的面积构成，所以，阴影的面积=50π-50
所以由定理知成立啊 对吧。

Answer 4

也可以用含参积分做
令x=ut u>0
http://wenwen.soso.com/z/q252414091.htm?ch=from.t.qq
或者用伽马函数的知识
Γ(s)=∫(0→+∞)e^x*x^(s-1)dx在此令x=u² s=0.5
得到∫(0→+∞)e^(-u²)du=Γ(0.5)
Γ(0.5)由余元公式得到为√π/2

Answer 5

修改楼上回答中的错误，并加注释

Γ(r)=∫[t^(r-1)]*(e^t)dt 积分限为0到正无穷大
取r=1/2得
Γ(1/2)=∫[t^(-1/2)] * e^(-t)dt
换元令t=x²
=∫ 1/x * e^(-x^2) d(x^2)=2∫e^(-x^2)dx

余元公式为
Γ(x)*Γ(1-x)=π / sinπx
所以Γ(1/2) = √π
所以
∫(0,+∞)e^(-x^2)dx = Γ(1/2) / 2 = √π / 2