Question

已知正方形ABCD的边长为a,两条对角线AC BD相交于点O,P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC BD 的垂线PE

Answer 1

（1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值．

　　（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值．

　　考点：正方形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形。

　　专题：几何图形问题。

　　分析：（1）因为ABCD是正方形，所以对角线互相垂直，又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F，所以可证明四边形PFOE是矩形，从而求出解．

　　（2）因为ABCD是正方形，所以对角线互相垂直，又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F，所以可证明四边形PFOE是矩形，从而求出解．

　　解答：解：（1）∵ABCD是正方形，

　　∴AC⊥BD，∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD，

　　∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．

　　又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．

　　∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°= a．

　　（2）∵ABCD是正方形，

　　∴AC⊥BD，∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD，

　　∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．

　　又∵∠PBF=∠OBA=45°，∴PF=BF．

　　∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°= a．

　　点评：本题考查正方形的性质，正方形的对角线互相垂直且平分每一组对角，四边相等，四个角都是直角，以及矩形的判定和性质解直角三角形等．

Answer 2

解：（1）∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD，
∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．
又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．
∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°= 根号2/2a
（2）∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD，
∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．
又∵∠PBF=∠OBA=45°，∴PF=BF．
∴PE-PF=OF-BF=OB=acos45°= 根号2/2a．

Answer 3

解：（1）∵ABCD是正方形，

　　∴AC⊥BD，∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD，

　　∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．

　　又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．

　　∴PE+PF=OF+FB=OB=√2a．

　　（2）∵ABCD是正方形，

　　∴AC⊥BD，∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD，

　　∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．

　　又∵∠PBF=∠OBA=45°，∴PF=BF．

　　∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=√2a．【不是√（2a）】

Answer 4

OEPF是矩形，PE＝OF ⊿BFP等腰直角 PF＝FB PE+PF＝OF+FB＝OB＝a/√2.
⑵ OEPF是矩形，PE＝OF ⊿BFP等腰直角 PF＝FB PE-PF＝OF-FB＝OB＝a/√2.

Answer 5

⑴ PE＋PF＝AE+EO＝AO＝a/√2
⑵PE－PF＝AE-OE＝AO＝a/√2