Question

证明方程6-3x=2的x次方 在区间【1，2】内有唯一一个实数解，并求出这个实数解。(精确到0.1）

Answer 1

设f(x)=2^x+3x-6，则f(x)为连续函数
∵f(1)=2+3-6=-1<0，f(2)=2^2+3*2-6=4+6-6=4>0
∴根据中值定理，在[1,2]上，至少存在一个x1使得函数f(x1)=0
即方程6-3x=2^x在[1,2]上有实数解
设存在另一个实数解x2，则必有f(x2)=0
∴有f(x1)-f(x2)=0，即(2^x1+3x1-6)-(2^x2+3x2-6)=0
即2^x1-2x^2+3(x1-x2)=0
若x1>x2，则2^x1-2x^2>0，上述等式左边>0，矛盾
若x1<x2，则2^x1-2^x2<0，上述等式左边<0，矛盾
故只有当x1=x2时，上述等式成立，故方程在[1,2]上有唯一解。
至于求解这个解，可以用二分法；用计算器或Excel计算均可，可得如下结果：
取x1=(a+b)/2=(1+2)/2=1.5，f(x1)=1.33>0；f(x1)*f(a)<0
取x2=(a+x1)/2=(1+1.5)/2=1.25，f(x2)=0.13>0；f(x2)*f(a)<0
取x3=(a+x2)/2=(1+1.25)/2=1.125，f(x3)=-0.44<0；f(x3)*f(x2)<0
取x4=(x2+x3)/2=(1.25+1.125)/2=1.1875，f(x4)=-0.16<0；f(x2)*f(a)<0
∵|x3-x4|<0.1，∴方程的解在1.125~1.1875之间，即1.1~1.2之间

希望对你有帮助

Answer 2

证明存在这样的实数
因为f(1)=2+3-6=-1<0
f(2)=4+6-6= 4>0
根据零点函数定理，存在实数x属于[1,2]，使得f(x)=0，即2* +3X-6=0成 立。
2、证明唯一性
f(x)的导数=2·2*+3，f(1)的导数=7>0，f(2)的导数=11>0，所以f(x)在 [1,2]为单调递增函数，同时根据1、的结论，得出f(x)=2* +3X-6在区间[1,2]内有唯一一个实数根，即6-3x=2在区间[1,2]内有唯一一个实数根。
3、 求解
2* +3X-6=0属于一元初等幂指数方程，直接代入方程求解模型可得出答案，最后答案精确到0.1即可。

Answer 3

证明：设函数使f（x）=2x+3x-6．∵f（1）=-1＜0，f（2）=4＞0
又∵f（x）是增函数，所以函数f（x）=2x+3x-6在区间[1，2]有唯一的零点，
则方程6-3x=2x在区间[1，2]有唯一一个实数解．设该解为x0，则x0∈[1，2]
取x1=1.5，f（1.5）=0.33＞0，f（1）f（1.5）＜0．∴x0∈（1，1.5）
取x2=1.25，f（1.25）=0.128＞0，f（1）f（1.25）＜0．
∴x0∈（1，1.25）
取x3=1.125，f（1.125）=-0.44＜0，
f（1.125）f（1.25）＜0．∴x0∈（1.125，1.25）
取x4=1.1875，f（1.1875）=-0.16＜0，f（1.1875）f（1.25）＜0．
∴x0∈（1.1875，1.25）∵|1.25-1.1875|=0.0625＜0.1∵可取x0=1.2
则方程的实数解为x0=1.2．

Answer 4

证明：设函数使f（x）=2x+3x-6．∵f（1）=-1＜0，f（2）=4＞0
又∵f（x）是增函数，所以函数f（x）=2x+3x-6在区间[1，2]有唯一的零点，
则方程6-3x=2x在区间[1，2]有唯一一个实数解．设该解为x0，则x0∈[1，2]
取x1=1.5，f（1.5）=0.33＞0，f（1）f（1.5）＜0．∴x0∈（1，1.5）
取x2=1.25，f（1.25）=0.128＞0，f（1）f（1.25）＜0．
∴x0∈（1，1.25）
取x3=1.125，f（1.125）=-0.44＜0，
f（1.125）f（1.25）＜0．∴x0∈（1.125，1.25）
取x4=1.1875，f（1.1875）=-0.16＜0，f（1.1875）f（1.25）＜0．
∴x0∈（1.1875，1.25）∵|1.25-1.1875|=0.0625＜0.1∵可取x0=1.2
则方程的实数解为x0=1.2．

Answer 5

二二