Question

有边长为4的正方形ABCD,将一把三角尺的直角顶点P放在正方形的对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B，另一

边与射线DC相交于点Q
①当点Q在DC的延长线上时，线段PQ与线段PB是否相等
②当点Q在DC的延长线上时，△PCQ是否可能成为等腰三角形，如果可能，求出相应的AP的长

Answer 1

第一个问题：
此时PQ＝PB。　证明如下：
∵ABCD是正方形，∴∠PCB＝45°、且CD⊥CQ，又PB⊥PQ，∴B、P、C、Q共圆，
∴∠PQB＝∠PCB＝45°，∴Rt△PCQ是以BQ为底边的等腰直角三角形，∴PQ＝PB。

第二个问题：
假设存在这样的等腰三角形。
∵∠PCQ＞∠BCQ＝90°，∴∠PCQ为钝角，∴若△PCQ是等腰三角形时，只能是CP＝CQ。
∵∠BCQ＝90°，∴∠BQC为锐角，又B、P、C、Q共圆，∴∠BPC为钝角。

令AC与BD相交于O。
∵ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，而∠BPC为钝角，且P在AC上，∴P在CO上，
∴PC＜CO＝（√2/2）BC＝2√2＜4。

设PC＝x，依题意与分析，有：CQ＝x。
由余弦定理，有：
PB^2＝PC^2＋BC^2－2PC×BCcos∠PCB、　PQ^2＝PC^2＋CQ^2－2PC×CQcos∠PCQ。
由第一个问题的结论，有：PB＝PQ，
∴PC^2＋BC^2－2PC×BCcos∠PCB＝PC^2＋CQ^2－2PC×CQcos∠PCQ，
∴BC^2－2PC×BCcos45°＝CQ^2－2PC×CQcos（90°＋45°），
∴16－2×4×（√2/2）x＝x^2＋2×（√2/2）x^2，
∴（√2＋1）x^2＋4√2x－16＝0，
∴x^2＋4√2（√2－1）x－16（√2－1）＝0，
∴x^2－4（√2－2）x－16（√2－1）＝0，
∴（x－4）［x－4（√2－1）］＝0，

∵PC＜4，即x＜4，∴x＝4（√2－1），即：PC＝4√2－4，
∴PA＝AC－PC＝4√2－（4√2－4）＝4。
即：当PA＝4时，△PCQ是等腰三角形。

Answer 2

题目有问题，如果三角尺的直角顶点P在AC上滑动，其直角的一边不可能始终经过点B。