Question

高中数学：若实数x、y满足2x+4y=1，求x^2+y^2的最小值 。（能用基本不等式做吗？）

Answer 1

方法一：
由已知，y=(1-2x)/4，
所以，x^2+y^2=x^2+[(1-2x)/4]^2=(20x^2-4x+1)/16
据二次函数性质，最小值为 (80-16)/(16*80)=1/20。

方法二：
设 x^2+y^2=t。
由已知得 y=(1-2x)/4，代入上式得
x^2+[(1-2x)/4]^2=t，
化简得 20x^2-4x+1-16t=0，
所以 Δ=(-4)^2-4*20*(1-16t)>=0，
解得 t>=1/20，即 x^2+y^2最小值为1/20。

方法三：
设 x^2+y^2=r^2。
则直线 2x+4y-1=0与圆x^2+y^2=r^2有公共点，
所以，圆心到直线的距离<=r，
即 |0+0-1|/√(2^2+4^2)<=r，
两端平方得 1/20<=r^2=x^2+y^2，
也就是 x^2+y^2的最小值是 1/20。

方法四：
由柯西不等式得
1=(2x+4y)^2<=(2^2+4^2)(x^2+y^2)，
所以，x^2+y^2>=1/20，即最小值为 1/20。

Answer 2

x=(1-4y)/2
代入得x^2+y^2=(1-8y+16y^2)/4+y^2
=5y^2-2y+1/4
=5(y-0.2)^2+1/20
y=0.2时有最小值为1/20

Answer 3

用柯西不等式
（x^2+y^2）（4+16）>=(2x+4y)^2=1
x^2+y^2>=1/20

追问

谢谢回答。我没有学过柯西不等式，只学过基本不等式。即x²+y²≥2xy、x+y≥2√xy。

追答

这样啊，那就用最基本的做好了，2x+4y=1，则2x=1-4y
S=x^2+y^2，则4S=4x^2+4y^2=(1-4y)^2+4y^2=20y^2-8y+1=20(y-1/5)^2-20/25+1>=1/5
S>=1/20
至于要用到x²+y²≥2xy、x+y≥2√xy这类公式，我现在还想不出怎么做

Answer 4

由2x+4y=1得y=-x/2+1/4，与之垂直且通过原点的直线是y=2x，联立此两方程，得x=1/10，y=1/5
把此值代入x^2+y^2得最小值是1/20

Answer 5

1.画出直线2x+4y=1，可以看出当直线与圆x^2+y^2=a相切时a最小。
连接坐标原点和切点，用相似三角形基本定理可以算出这个线段的长度1/(2kaigen5); b = 1/20

Answer 6

这是直线和圆相切的问题