Question

已知函数f（x）=x^3+ax²+c，且g（x）=f（x）-2是奇函数。

a、c是多少？证明f(x)在区间【1，+∞】上单调递增间

Answer 1

∵g(x)是奇函数
∴g(-x)=-g(x)
f(-x)-2=-[f(x)-2]
-x³+ax²+c-2=-x³-ax²-c+2
2ax²-2c+4=0
2a=0=>a=0
4-2c=0=>c=2

f(x)=x³+2
设有x1和x2，x2>x1≥1
f(x2)-f(x1)=(x2)³-(x1)³
=(x2-x1)[(x2)²+(x2)(x1)+(x1)²]
∵x2>x1
∴x2-x1>0
∴[(x2)²+(x2)(x1)+(x1)²]>0
=>f(x2)-f(x1)>0
∴f(x)在[1，+∞)上单调递增

如果是高数程度，可以用导数判断，过程快很多。
f(x)=x³+2
f'(x)=3x²
∵f'(1)=3(1)²=3>0，斜率为正
∴f(x)在区间[1，+∞)上单调递增

Answer 2

1)g(x)=x^3+ax^2+c-2。由于g(x)奇函数，令x=0,则有g(0)=c-2=0，得c=2;g(x)=x^3+ax^2，令x=1有g(1)=1+a=-g(-1)=-1+a，得a=0。
2)f(x)=x^3+2，f'(x)=3x^2≥0,所以f(x)在(+∞,-+∞)为增函数。

Answer 3

a=1/x
c=2
f(x)=x^3+x 设x1<x2 则 f(x2)-f(x1)=x2^3-x1^3+x2-x1=（x2-x1）(x1^2+x1*x2+x2^2)+(x2-x1)>0
故结论成立