Question

证明f(x) = 1/x在（0，1]不是一致连续

Answer 1

所谓一致连续，就是要求当函数的自变量的改变很小时，其函数值的改变也很小，从而要求函数的导数值不能太大——当然只要有界即可.
函数f(x)在[a,b]上一致连续的充分必要条件是 在[a,b]上连续.

函数f(x)在[a,b)上一致连续的充分必要条件是f(x)在(a,b)上连续且f(b-)存在.
所以f(x)在(0,1)是连续的
但是f(0+)不存在 没有上界 所以不是一致连续的

希望能帮到你~

Answer 2

f(x)在集合E一致连续的定义：“对任意给定的正数ε，存在δ>0, 对所有x',x''属于E，只要|x'-x"|<δ, 都有|f(x')-f(x'')|<ε. ”
因此f(x)在集合E不一致连续的定义是：“对给定的某正数ε0，不论δ取值多么小, 总至少有两点x',x''属于E，虽|x'-x"|<δ, 却有|f(x')-f(x'')|>=ε.”
由此证明f(x) = 1/x在（0，1]不是一致连续的：
对ε0=1，不论δ取值多么小，总有自然数n,使得1/2n<δ, 于是我们取x'=1/n,x''=1/2n，虽|x'-x"|<δ，却有|f(x')-f(x'')|=|1/x‘-1/x''|=n>1.因此f(x) = 1/x在（0，1]不是一致连续的.
不知你有否明白？