Question

求y=x+√2x-1的值域时 我根据根式的定义2x-1大于等于零 所以y大于等于2/1 所以x取2/1 时 这个整个函数值最

小为2/1 则函数的值域恒大于等于2/1 为什么这种方式是错误的啊 书上用的是换元法

Answer 1

其实这个思路本身是有道理的，只是你写错了一个地方，并且缺少单调性的推导：

根据根式的定义2x-1大于等于零 【所以y大于等于2/1 】应该为：【所以x大于等于1/2 】

然后需要补充上单调性推导：
x单调增；2x-1在定义域内单调增；√(2x-1)在定义域内单调增
在定义域内单调增+单调增=单调增
∴y=x+√(2x-1)在定义域【1/2，+∞）上单调增
∴最小值f(1/2)=1/2+0=1/2
∴值域【1/2，+∞）

另外，换元法是解题的方法之一，如果没规定非得用换元法，用其他方法解体就不应该算错。

追问

还有这种我也不懂 比如求y=5x-1/4x-1的值域 根据使式子有意义 则4x-1不等于0 则除了1/4都可以取值 那整个值域就应该是y不等于0 书上根据常数分离法 得出y不等4/5 我不知道我思维错在那了

追答

这个题因为分子中有未知数，所以不能通过分母不为零直接推出分式不为零。

如果分子是常数，比如y=n/(4x-1)，【其中m为常数】，那么可以推出y≠0。

书上用【常数分离法】的目的就是使其变成 y = m + n/(4x-1)的形式，其中 n/(4x-1)≠0，y≠m

追问

太感谢你了 谢谢啊

Answer 2

问题是你默认了函数的单调性了，只要再补充证明一下函数是增函数即可。

追问

我觉得这个函数只能是增函数啊 因为x是大于等于1/2的 他可以为减函数吗

Answer 3

这个题有一个利用非负性解题的简易办法
2x-1>=0, :. x>=1/2
又y-x=√(2x-1)>=0
:. y-x>=0, y>=x>=1/2
:. y∈[1/2, +oo)