Question

帮忙求极限

Answer 1

　　解：分享一种解法，用无穷小量替换。x→0时，ln(1+x)~x-(1/2)x^2，e^x~1+x，
　　∵e^[(1+x)^(1/x)]=e^{e^[(1/x)ln(1+x)}，∴e^[(1+x)^(1/x)]~e^[e^(1-x/2)]=e^[e*e^(-x/2)]~e^[e(1-x/2+(1/8)x^2]={e^[e(1-x/2]}*e^(e/8)x^2，
　　同理，(1+x)^(e/x)=e^[(e/x)ln(1+x)]，∴(1+x)^(e/x)~e^[e(1-x/2)]，
　　∴原式=lim(x→0){e^[e(1-x/2)]}[e^(e/8)x^2-1]/x^2=lim(x→0){e^[e(1-x/2)]}[1+(e/8)x^2-1]/x^2=(1/8)e^(e+1)。
　　供参考。

追问

e^[(1+x)^(1/x)]~e^[e^(1-x/2)]=e^[e*e^(-x/2)]~e^[e(1-x/2+(1/8)x^2]这一步怎么的来的呢

追答

　　e^[(1+x)^(1/x)]=e^{e^[(1/x)ln(1+x)}~e^{e^[x-(1/2)x^2]/x}=e^[e^(1-x/2)]。
　　而e^(1-x/2)=e*e^(-x/2)，将e^x~1+x+(1/2)x^2中的x换成-x/2，即有e^(-x/2)~1-x/2+(1/8)x^2。
　　∴e^(1-x/2)~(1-x/2)e+(e/8)x^2]。【无穷小量替换，取前n项时，n=1,2,或者3，……，要根据题目要求而定。本题可以都取前3项，但“工作量”大，故，前面计算中取了前2项，后面考虑分母中有x^2项，取了前3项。】供参考。

追问

谢谢