Question

同济高数教材例题，书上是求二阶导数判断凹凸，我比较两式大小，这么做对不对？

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Answer 1

你的方法当然不行。
所谓凸，凹，是对该区间任意两点进行对比的，而不是特定的两点进行对比的。
这就和函数的单调性一样，都是任意两点都符合要求，才是。只是特定的选两点或多个点，都是不能证明的。
你这只是证明了x=1和x=2这两个特定的点，满足[f（1）+f（2）]/f（1+2）
但是你没怎么其他的点，例如x1=3，x2=4或x1=0.2，x2=5.8等等这些组合，也满足[f（x1）+f（x2）]/f（x1+x2）
所以如果你想用这个方法证明
你只能这样写：
在定义域（0，+∞）上，任取两点x1＜x2
然后证明[f（x1）+f（x2）]/f（x1+x2）
这有证明出来了，才是说明f（x）=lnx在（0，+∞）上是凸函数。

追问

看来判断凹凸还是得用二阶是吗

Answer 2

凸性的定义中的x1，x2是任意的，你只不过是验证了一个特例，并不具有一般性。
应该使用抽象的记号x1，x2进行证明。

追问

也就说定义只是定义，判定凹凸还是得靠二阶导是吗