Question

定义在R上的函数f(x)，对于任意的x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时，f(x)<0,f(1)=-2。

（1）判断函数f(x)的奇偶性；
（2）判断函数f(x)的单调性；
（3）若f(2a²-a-1)+f(2a-a²）>-2，求a的取值范围。

Answer 1

第一问
已知f(x+y)=f(x)+f(y)
∴令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0
令y=-x，得f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0，即f(-x)=-f(x)
所以是奇函数
第二问
设x1，x2∈R且x2>x1
x2>x1，可设x2=x1+△x，其中△x>0

则f(x2)-f(x1)=f(x1+△x)-f(x1)=f(x1)+f(△x)-f(x1)=f(△x)
∵△x>0，∴f(△x)<0
即f(x2)-f(x1)<0，f(x1)>f(x2)
∴f(x)为R上的减函数
第三问
原不等式可化为 f【(2a²-a-1)+(2a-a²）】> f(1)
由单调性可得 (2a²-a-1)+(2a-a²）< 1
即 a²+a-2<0
所以 -2<a<1

Answer 2

f(1+0)=f(1)+f(0)=-2,f(0)=0 ,f(-x+x)=f(-x)+f(x)=0 f(x)为奇函数 奇函数 很容易证明单调递减。 （3）
f(a²-a-1)>-2, a²-a-1<1 -1<a<2.