Question

拉格朗日中值定理的证明中用到的辅助函数是怎么来的？谢谢~

我的高数学的不好，有几个问题要向大家请教：
1.拉格朗日中值定理的证明中用到的辅助函数是怎么来的？谢谢~
辅助函数是：F(x)=f(x)-{f(a)+[f(b)-f(a)]/(b-a)*(x-a)}
2.初等函数的求导过程（初等函数导函数的证明）谢谢~
3.反函数的导数互为倒数，那以a为底x的对数与a的x次方为何不互为倒数呢？
知道的朋友还请多多回帖呀~

Answer 1

1.引入这个辅助函数是为了达到罗尔中值定理的条件F(a)=F(b)（你把a,b代入算出来都是F(x)都等于0）,于是根据罗尔中值定理，在（a,b）上必有一点ξ满足F'(ξ)=0.对F(x)求导得到F'(x)=f'(x)-[f(b)-f(a)]/(b-a),即有F'(ξ)=f'(ξ)-[f(b)-f(a)]/(b-a)=0,所以有f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)即拉格朗日中值定理.总之这个辅助函数有这两个条件：
1.F(a)=F(b)
2.由F'(ξ)=0能得到f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)，或者直接就是要满足F'(x)=f(x)-[f(b)-f(a)]/(b-a)
满足这两个条件的辅助函数就是F(x)=f(x)-{f(a)+[f(b)-f(a)]/(b-a)*(x-a)}
2.你看一下我的词条《导数表》，见参考资料
3.拿微分考虑
y=a^x,两边微分得到dy=a^xlnadx
dy/dx=a^xlna,dy/dx就是导数了，就是你习惯的y'
dx/dy就是反函数的导数，写明白点就是x=log(a)y的导数
我们看一下dx/dy的表达式：dx/dy=1/(lna*a^x)
显然a^x=y,我们代入dx/dy=1/(lna*a^x)得到dx/dy=1/(lna*y)
注意这里自变量为y,因变量为x,我们把自变量和因变量互换一下即得到习惯的函数形式y(x)=log(a)x,我们看到dx/dy=1/(lna*y)中x变y,y变x后有dy/dx=1/(lna*x),这就是对数函数的导数了。或许讲得有点乱，多想想应该就清楚了。