Question

设函数f(x)在[0,1]上可导，且0<f(x)<1,f(x)的导数不为1，试证明

试证明在(0,1)内有唯一点，令f(§)=§。怎么证明啊
F(1)为什么大于0呢？

Answer 1

令 F(x) = f(x) - 1, F(0) < 0, F(1) > 0, F(x)在[0,1]上可导=>连续，
故至少在(0,1)内有一点ξ，使得 F(ξ) = 0, 即 f(ξ) = ξ.
下面用反证法证明 ξ 只有一个。
假设存在ξ1，ξ2∈(0,1) , F(ξ1) =0, 且 F(ξ2) = 0.
由罗尔中值定理，必存在 η ∈(ξ1，ξ2), F '(η) = f '(η) - 1 = 0
=> f '(η) = 1 这与 f(x)的导数不为1 矛盾，假设错误。
因此在(0,1)内有唯一点，使得 f(ξ) = ξ.

追问

F(1)为什么大于0呢？

追答

抱歉， 应该是 F(x) = f(x) - x ，
由于0 F(0) > 0, F(1) < 0