Question

高数问题。极限

高数问题。极限紫色那道题

Answer 1

证明：
令：
f(x)=a0x^(2n+1)+a1x^(2n)+...+a2nx+a(2n+1)
∵f(x)的系数为实数，
∴f(x)的定义域为R
易知，该多项式构成的f(x)在定义域内连续，可导
再令：M>0，其中M∈R+，那么：
在（-M，M）内，
f(x) = x^(2n+1)·[a0+a1/x+...+a(2n+1)/x^(2n+1)]
f(-∞)
=lim(M→+∞) f(-M)
=lim(M→+∞) (-M)^(2n+1)·[a0+a1/(-M)+...+a(2n+1)/(-M)^(2n+1)]
f(+∞)
=lim(M→+∞) f(M)
=lim(M→+∞) M^(2n+1)·[a0+a1/M+...+a(2n+1)/M^(2n+1)]
∴
f(-∞)≠f(+∞)
由介质定理，必∃ξ∈（-M，M），使得：
f(ξ)=0
因此，至少存在一个实根！
证毕！