高数问题。极限

高数问题。极限紫色那道题... 高数问题。极限紫色那道题 展开
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vdakulav
2016-10-12 · TA获得超过1.5万个赞
知道大有可为答主
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证明:
令:
f(x)=a0x^(2n+1)+a1x^(2n)+...+a2nx+a(2n+1)
∵f(x)的系数为实数,
∴f(x)的定义域为R
易知,该多项式构成的f(x)在定义域内连续,可导
再令:M>0,其中M∈R+,那么:
在(-M,M)内,
f(x) = x^(2n+1)·[a0+a1/x+...+a(2n+1)/x^(2n+1)]
f(-∞)
=lim(M→+∞) f(-M)
=lim(M→+∞) (-M)^(2n+1)·[a0+a1/(-M)+...+a(2n+1)/(-M)^(2n+1)]
f(+∞)
=lim(M→+∞) f(M)
=lim(M→+∞) M^(2n+1)·[a0+a1/M+...+a(2n+1)/M^(2n+1)]

f(-∞)≠f(+∞)
由介质定理,必∃ξ∈(-M,M),使得:
f(ξ)=0
因此,至少存在一个实根!
证毕!
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