Question

如图，在△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线AE，BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆D点

如图，在△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线AE，BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆D点,连接BD，CD,CE，且∠BDA=60°。
（1）求证：△BDE是等边三角形；（2）若∠BDC=120°，猜想BDCE是何种特殊四边形，并证明你的猜想。

Answer 1

解：（1）△BDE为等边三角形．

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠1= ∠ABC，∠3= ∠BAC．

∴∠1+∠3= （∠ABC+∠BAC）= （180°-∠ACB）．

∵弧AB=弧AB，

∴∠ACB=∠BDA（同弧所对圆周角相等），

∵∠BDA=60°

∴∠ACB=60°，

∴∠1+∠3=60°．

∴∠BED=∠1+∠3=60°．

∴△BDE为等边三角形．

（2）四边形BDCE为菱形．

∵△BDE为等边三角形，

∴BD=DE=BE．

∵∠BDC=120°，∠BDE=60°，

∴∠EDC=60°．

又∵∠3=∠4，

∴BD=DC．

∴DE=DC．

∴△DEC为等边三角形．

∴DC=EC=DE=BD=EB．

则四边形BDCE为菱形．

Answer 2

(1)证明:∠DBC=∠CAE=∠BAE;∠EBC=∠EBA.
则∠DBC+∠EBA=∠BAE+∠EBA,即∠DBE=∠DEB,DE=DB.
又∠BDA=60°,故：△BDE是等边三角形.(有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形)
(2)若∠BDC=120°,则∠CDE=60°.同理可证:DE=DC.
则△DEC为等边三角形,故BD=BE=DE=CE=CD.
即四边形BDCE为有一个内角为60度的菱形.

Answer 3

解：如图：①证明：在圆中∠ACB=∠BDA=60°，
∴∠ABC+∠BAC=120°，
又∵AE、BE是∠BAC与∠ABC的角平分线，
∴∠BED=∠ABE+∠BAE= 1/2（∠ABC+∠BAC）=60°，
∴△BDE是等边三角形．
②四边形BDCE是菱形．
证明：∵∠BDC=120°，∠BDA=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°
∵BE是∠ABC的角平分线，△BDE是等边三角形，
∴BF平分∠EBD，且BC垂直平分DE，
∵∠BDF=∠CDF，∠BFD=∠CFD，DF=DF，
∴△BFD≌△CFD，
∴BF=CF，
∴DE垂直平分BC，
因此四边形BDCE是菱形．

Answer 4

解：如图：①证明：在圆中∠ACB=∠BDA=60°，
∴∠ABC+∠BAC=120°，
又∵AE、BE是∠BAC与∠ABC的角平分线，
∴∠BED=∠ABE+∠BAE=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BAC）=60°，
∴△BDE是等边三角形．

②四边形BDCE是菱形．
证明：∵∠BDC=120°，∠BDA=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°
∵BE是∠ABC的角平分线，△BDE是等边三角形，
∴BF平分∠EBD，且BC垂直平分DE，
∵∠BDF=∠CDF，∠BFD=∠CFD，DF=DF，
∴△BFD≌△CFD，
∴BF=CF，
∴DE垂直平分BC，
因此四边形BDCE是菱形．

③解：由∠ABC=∠ADC=60°，∠ACB=∠ADB=60°，AE是∠BAC的角平分线，
可得∠CAD=30°，AD为圆的直径，CD=CE=4，
∴AD=2CD=8，AC=4$\sqrt{3}$
因此S四边形ABDC=2×（4×4$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$）=16$\sqrt{3}$．

Answer 5

解：（1）△BDE为等边三角形．

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠1= ∠ABC，∠3= ∠BAC．

∴∠1+∠3= （∠ABC+∠BAC）= （180°-∠ACB）．

∵弧AB=弧AB，

∴∠ACB=∠BDA（同弧所对圆周角相等），

∵∠BDA=60°

∴∠ACB=60°，

∴∠1+∠3=60°．

∴∠BED=∠1+∠3=60°．

∴△BDE为等边三角形．

（2）四边形BDCE为菱形．

∵△BDE为等边三角形，

∴BD=DE=BE．

∵∠BDC=120°，∠BDE=60°，

∴∠EDC=60°．

又∵∠3=∠4，

∴BD=DC．

∴DE=DC．

∴△DEC为等边三角形．

∴DC=EC=DE=BD=EB．

则四边形BDCE为菱形．