Question

线性代数：爪型行列式

1 2 2 … 2 2
2 2 2 … 2 2
2 2 3 … 2 2
……………………
2 2 2 … n-1 2
2 2 2 … 2 n

不知道大家能不能看懂，是行列式，两旁的竖线我没打出来，是n行n列的。
如何解？谢谢。

Answer 1

补边法
在左边补上
0
0
0
0
上边补上 2 2 2 2 2
每行都减去补的那行 再按第一列展开 就OK啦
懂我说的吗

追问

我试了。好像解不了啊。

追答

可以的 减过以后是不是只剩下第一行 和对角线上的
还有第一列
然后把第一列变为0 就是将后面每一列的多少倍加到第一列

追问

不是的啊。。我觉得你是不是说错了。
左边补的是0吗？左边补的如果都变成2
是只剩下第一行和对角线上的
但这时对角线上会存在一个0（在第三行第三列）。
……

追答

不好意思是我看错了
是有一个0
因为第3列都是0
所以第一行展开
除了第一行第3个数展开那个不是0 其他都是0
答案是2*（-1）*1*2*，，，，，*（n-2）

追问

我被弄晕了。。。
你的答案是正确的。~~~~(>_<)~~~~

追答

哎 第三列除了2 其他都是0 是不是
按第一行展开试试
你看看 除了 第一行第三个2 展开的那个式子不为0 其他展开后
伴随的行列式是不是都有一列是0 那么其他展开的式子都是0
有QQ吗 我在线讲解吧

追问

左边补0，上边补2，得出
2 2 2 2… 2 2
0 1 2 2 … 2 2
0 2 2 2 … 2 2
0 2 2 3 … 2 2
……………………
0 2 2 2 … n-1 2
0 2 2 2 … 2 n
每行都减去补的那行 ，得出
2 2 2 2… 2 2
-2 -1 0 0 … 0 0
-2 0 0 0 … 0 0
-2 0 0 0 … 0 0
……………………
-2 0 0 0 … n-3 0
-2 0 0 0 … 0 n-2

追答

2 2 2 2… 2 2
-2 -1 0 0 … 0 0
-2 0 0 0 … 0 0
-2 0 0 1 0 0
……………………
-2 0 0 0 … n-3 0
-2 0 0 0 … 0 n-2
现在你第一行展开
只有第一行 第三个2 展开的式子不为0
其他的展开后是不是都包含第3列(展开后就没第一行的2 都是0啦)

追问

2 2 2 2… 2 2
-2 -1 0 0 … 0 0
-2 0 0 0 … 0 0
-2 0 0 1 0 0
……………………
-2 0 0 0 … n-3 0
-2 0 0 0 … 0 n-2
按第一行展开，第三个2展开的式子是：2乘以（下面这个行列式，去掉第一行和第三列后）
-2 -1 0 … 0 0
-2 0 0 … 0 0
-2 0 1 0 0
……………………
-2 0 0 … n-3 0
-2 0 0 … 0 n-2

追答

对 就等于这个啊
再按第一行展开吧 第一行就两个元素
-2* 0 0 … 0 0
0 1 0 0
……………………
0 0 … n-3 0
0 0 … 0 n-2
等于0吧
+（-1）^(1+2)* -2 0 … 0 0
-2 1 0 0
……………………
-2 0 … n-3 0
-2 0 … 0 n-2

追问

这样算出来答案不是2*（-1）^(1+2)*（-2）*1*……*（n-2）=-4*（n-2）！吗？
答案是-2*（n-2）！

追答

帅哥 你补边的时候 那个2要除掉呀
你这算出来的是补过以后的值呀
哎 帅哥 我一晚上就做了你这一题 。。。。。。

Answer 2

把第2行的-1倍加之其余各行，再把第1行的2倍加至第2行，最后的-2×（n-2）！你自己试做下，答案过程不好写，不好意思啦

Answer 3

楼上麻烦了!

解: 所有行减第2行
D =
-1 0 0 ... 0
2 2 2 ... 2
0 0 1 ... 0
...
0 0 0 ... n-2

c1-c2
-1 0 0 ... 0
0 2 2 ... 2
0 0 1 ... 0
...
0 0 0 ... n-2
--这是上三角行列式
D = -2 (n-2)!