Question

已知g(x)=xe^1-x,f(x)=ax-lnx+1(a∈R)（1）求函数g(x)在区间（0，e]上的值域

（2）是否存在实数a，对任意给定的X0∈（0，e]，在区间[1,e]上都存在两个不同的Xi(i=1,2),使得f(Xi)=g(Xo)成立，若存在，求出a的取值范围。。（3）给出如下定义：对于函数y=F(X)图像上的点A（x1，y1），B(X2,Y2),如果对于函数y=F(x)图像上的点M(X0,Y0)(其中X0=X1+X2/2)总能使得F(X1)-F(X2)=F'(X0)(X1-X2)成立，则称函数具备性质“L”，试判断函数f(x)是否具备性质“L”，并说明理由

Answer 1

令g'(x)=e^(1-x)-xe^(1-x)=(1-x)*e^(1-x)=0
得x=1
0<x<1时 g'(x)>0 g(x)单增
1<x<e时 g'(x)<0 g(x)单减
所以g(x)最大=g(1)=1
值域为(0, 1]
(2) 若存在 f(x)=ax-lnx+1=g(x0)
则g(x0)∈(0, 1]
设h(x)=f(x)-g(x0)=ax-lnx+1-g(x0)
有两个不同的零点
令h'(x)=a-1/x=(ax-1)/x=0
解得x=1/a 在区间[1,e]上
所以只需1<1/a<e
故满足条件的a取值范围：1/e<a<1
(3) [f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)=[a(x1-x2)-ln(x1/x2)]/(x1-x2)
=a-[ln(x1/x2)]/(x1-x2) (1)
f'(x)=a-1/x
f'[(x1+x2)/2]=a-2/(x1+x2) (2)
满足条件只需(1)=(2)
即ln(x1/x2)=2(x1+x2)/(x1-x2)
不妨设1≤x2<x1≤e
则 ln(x1/x2)<lne=1
而2(x1+x2)/(x1-x2)>2(x1+x2)/x1>2x1/x1=2
所以(1)=(2)不成立
故f(x)不具备性质“L”

Answer 2

令g'(x)=e^(1-x)-xe^(1-x)=(1-x)*e^(1-x)=0
得x=1
值域为(0, 1]
(2) 若存在 f(x)=ax-lnx+1=g(x0)
则g(x0)∈(0, 1]
设h(x)=f(x)-g(x0)=ax-lnx+1-g(x0)
有两个不同的零点
令h'(x)=a-1/x=(ax-1)/x=0
解得x=1/a 在区间[1,e]上
所以只需1<1/a<e
故满足条件的a取值范围：1/e<a<1
(3) [f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)=[a(x1-x2)-ln(x1/x2)]/(x1-x2)
=a-[ln(x1/x2)]/(x1-x2) (1)
f'(x)=a-1/x
f'[(x1+x2)/2]=a-2/(x1+x2) (2)
满足条件只需(1)=(2)
即ln(x1/x2)=2(x1+x2)/(x1-x2)
不妨设1≤x2<x1≤e
则 ln(x1/x2)<lne=1
而2(x1+x2)/(x1-x2)>2(x1+x2)/x1>2x1/x1=2
所以(1)=(2)不成立故f(x)不具备性质“L” 赞同
希望有用

Answer 3

(1),(0，1]

Answer 4

令g'(x)=e^(1-x)-xe^(1-x)=(1-x)*e^(1-x)=0
得x=1
0<x<1时
g'(x)>0
g(x)单增
1<x<e时
g'(x)<0
g(x)单减
所以g(x)最大=g(1)=1
值域为(0,
1]
(2)
若存在
f(x)=ax-lnx+1=g(x0)
则g(x0)∈(0,
1]
设h(x)=f(x)-g(x0)=ax-lnx+1-g(x0)
有两个不同的零点
令h'(x)=a-1/x=(ax-1)/x=0
解得x=1/a
在区间[1,e]上
所以只需1<1/a<e
故满足条件的a取值范围：1/e<a<1
(3)
[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)=[a(x1-x2)-ln(x1/x2)]/(x1-x2)
=a-[ln(x1/x2)]/(x1-x2)
(1)
f'(x)=a-1/x
f'[(x1+x2)/2]=a-2/(x1+x2)
(2)
满足条件只需(1)=(2)
即ln(x1/x2)=2(x1+x2)/(x1-x2)
不妨设1≤x2<x1≤e
则
ln(x1/x2)<lne=1
而2(x1+x2)/(x1-x2)>2(x1+x2)/x1>2x1/x1=2
所以(1)=(2)不成立
故f(x)不具备性质“L”