Question

如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=3.P是AD边上任意一点，PE垂直BD，PF垂直AC，E,F分别是垂足，求PE+PF的值。

如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=3.P是AD边上任意一点，PE垂直BD，PF垂直AC，E,F分别是垂足，求PE+PF的值。

Answer 1

解：
矩形ABCD中，AD=4，AB=3
所以BD=根号下3^2+4^2=5
sin角ADB=3/5
又ABCD是矩形，所以角DAC=角ADB sin角DAC=3/5
所以PE=sin角DAC*AP=3/5*AP
PF=角ADB*PD=3/5*PD
PE+PF=3/5*AP+3/5*PD=3/5*(AP+AD)=3/5*AD=12/5
即PE+PF的值为12/5

追问

sin角ADB=3/5为什么？
还有sin角是什么

追答

sin角ADB=AB/BD=3/5表示直角三角形中 角ADB的对边比上斜边的值
如果你们没学过 那么可以用相似三角形来做
你很容易就可以证明出三角形APE相似于三角形DBA， 三角形DPF相似于三角形DBA
那么有PE/AP=AB/BD=3/5 PE=3/5*AP
PF/PD=AB/BD=3/5 PF=3/5PD
PE+PF=3/5*AP+3/5*PD=3/5*(AP+AD)=3/5*AD=12/5
即PE+PF的值为12/5
..........这样可以吧 呵呵

Answer 2

勾股定理可得BD=5
分别以A、B为顶点做BD、AC的垂线，垂足分别为M、N
利用三角形面积公式可得：AM*BD=AB*AD，解得AM=五分之十二
同理BN=五分之十二
设AP=x,PD=4-x
在三角形AMD中，PF:AM=PD:AD，解得PF=(20-5x)/48
在三角形AND中，PE:DN=AP:AD，解得PE=5x/48
（都是含有x的代数式），
所以PE+PF=五分之十二
（x正好可以抵消掉）

Answer 3

在直角三角形APE中,PE=PAsinDAC=3/5PA
在直角三角形PDF中,PF=PDsinBDA=3/5PD
则PE+PF=3/5(PA+PD)=3

Answer 4

初二学这个，用面积法也可以
连接PC，PB
三角形APC面积=AC乘以PE的一半
三角形BPD面积=BD乘以PF的一半
而三角形APC面积=AP乘以DC的一半=三角形APB面积
故三角形APC面积+三角形BPD面积=三角形APB面积+三角形BPD面积=三角形ABD的面积=6
即1/2PE乘以AC+1/2PF乘以BD=6
AC=BD=5
所以1/2X5(PE+PF)=6
所以PE+PF=12/5

Answer 5

PE+PF=12/5