点P是曲线y=x^2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x+2的最小距离

百度网友e953a69
2011-10-18 · TA获得超过5931个赞
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点P是曲线y=x^2-lnx上任意一点,
当过点P的切线和直线y=x-2平行时,
点P到直线y=x-2的距离最小.
直线y=x-2的斜率等于1,
令y=x2-lnx的导数 y′=2x- 1/x=1,x=1,或 x=- 1/2(舍去),
故曲线y=x^2-lnx上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标(1,1),
点(1,1)到直线y=x-2的距离等于根号 2,
故点P到直线y=x-2的最小距离为 根号2,
故答案为 根号2.
看涆余
2011-10-18 · TA获得超过6.7万个赞
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所谓和直线的最小距离就是找到一点,使在该点的切线与已知直线平行,则二平行线间的距离就是P点至已知直线的最小距离,求出曲线的导函数,令其和直线的斜率相等,求出切点,再用距离公式,求出距离。
y'=2x-1/x,
直线斜率k=1,
2x-1/x=1,
2x^2-x-1=0,
(2x+1)(x-1)=0,
x1=-1/2,x2=1,
而由定义域得知x>0,故舍去-1,
y=1^2-ln1=1,
得P(1,1),
根据点线距离公式,
d=|1-1+2|/√(1^2+1^2)=√2,
∴点P到直线y=x+2的最小距离为√2。
以上是在直线和曲线相离时的方法 ,但相交,则为0。确实是有两个交点,故为0。
追问
那您结论就是0是吗
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提问题的人显然应该是想到直线和曲线是相离的情况,但他忽略了它们是相交的,若相交则最小距离是没有意义的,当然结论是0。
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anranlethe
2011-10-17 · TA获得超过8.6万个赞
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楼上的思路的顺序错了,首先要看看y=x^2-lnx和y=x+2有没有交点:
联列方程组,即:x^2-lnx=x+2,即:x^2-x-2=lnx
令y1=x^2-x-2,y2=lnx
两个草图都比较容易画出来,
y1=x^2-x-2与x轴的交点是(-1,0)和(2,0),而y2过点(1,0)
显然有交点,那么也就意味着y=x^2-lnx和y=x+2有交点,则最小距离为0;
如果数形结合做出没有交点,再去用切线平行的方法求出切点。。。

希望能帮到你,如果不懂,请Hi我,祝学习进步!
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追问
当点P为直线y=x+2平移到与曲线y=x^2-lnx相切的切点时,点P到直线y=x+2的距离最小设点P(x。,y。)f(x)=x^2-lnx,则f′(x。)=2x-1/x,所以2x。-1/x。=1,又x。﹥0,所以x。=1,所以点P的坐标为(1,1),此时点P到直线y=x+2的距离为2/√2=√2
这个是答案的解释
追答
显然错的
答案根楼上一样直接跳过了第一步,我的做法有不懂的地方吗?
事实上y1=x^2-x-2和y2=lnx的交点,
你画草图就知道有两个,一个横坐标在(0,1)上,另一个横坐标大于2;
跟你用作图软件画出来的交点位置差不多吧
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百度网友ce8d01c
2011-10-17 · 知道合伙人教育行家
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设曲线上的点为(x,x^2-lnx),根据点到直线x-y+2=0的距离公式得
d=|x-x^2+lnx+2|/√2
即求函数f(x)=x^2-x-lnx-2的最值
求导得
f'(x)=2x-1-1/x=0
解得x=1
f(x)=-2
所以最小距离是√2,此时,x=1
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追问
法一:取曲线y=x^2-lnx上任一点P(t,t^2-lnt),P到直线y=x+2的距离为:【绝对值(t-t^2+lnt+2)】/(根2),发现分子可以为0(因为函数y=t^2-t+2与y=lnt有交点),则最小距离为0.
注:如果分子恒不为0(恒正或恒负),可以通过对y=t-t^2+lnt+2求导,找到极值点来完成解答。
法二:利用绘图软件,直接绘出曲线y=x^2-lnx与直线y=x+2,发现它们有交点,所以最小距离为0
这个不是答案
追答
请问分子为0时,x=?
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似泽洋q6
2013-03-27
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首先x^2-lnx=x+2 无交点:x^2-x-2= lnx 发现若是左边曲线和右边的直线有交点一定在(1,无穷),那么对y=x^2-x-2-lnx 求导,是2x-1-1/x ,发现有极值点x= ((根号下5)+1)/2, 将这个值带进y=x^2-x-2-lnx,发现是3,正的,言外之意就是没交点
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