Question

求（2）的逆矩阵 怎么做啊

Answer 1

使用初等行变换（即gauss-jordan法），求这个矩阵的逆矩阵
A|E
=
0 1 1 ... 1 | 1 0 ... 0
1 0 1 ... 1 | 0 1 ... 0
1 1 0 ... 1 | 0 0 ... 0
...
1 1 1 ... 0 | 0 0 ... 1

所有行(第1行除外)加到第1行，然后提取第1行公因子n-1
1 1 1 ... 1 | 1/(n-1) 1/(n-1) ... 1/(n-1)
1 0 1 ... 1 | 0 1 ... 0
1 1 0 ... 1 | 0 0 ... 0
...
1 1 1 ... 0 | 0 0 ... 1
所有行(第1行除外)都减去第1行
1 1 1 ... 1 | 1/(n-1) 1/(n-1) ... 1/(n-1)
0 -1 0 ... 0 | -1/(n-1) 1-1/(n-1) ... -1/(n-1)
0 0 -1 ... 0 | -1/(n-1) -1/(n-1) ... -1/(n-1)
...
0 0 0 ... -1 | -1/(n-1) -1/(n-1) ... 1-1/(n-1)

所有行(第1行除外)加到第1行
1 0 0 ... 0 | 1/(n-1)-1 1/(n-1) ... 1/(n-1)
0 -1 0 ... 0 | -1/(n-1) 1-1/(n-1) ... -1/(n-1)
0 0 -1 ... 0 | -1/(n-1) -1/(n-1) ... -1/(n-1)
...
0 0 0 ... -1 | -1/(n-1) -1/(n-1) ... 1-1/(n-1)
所有行(第1行除外)乘以-1

1 0 0 ... 0 | 1/(n-1)-1 1/(n-1) ... 1/(n-1)
0 1 0 ... 0 | 1/(n-1) (2-n)/(n-1) ... -1/(n-1)
0 0 1 ... 0 | 1/(n-1) 1/(n-1) ... 1/(n-1)
...
0 0 0 ... 1 | 1/(n-1) 1/(n-1) ... (2-n)/(n-1)

由此得到逆矩阵

1/(n-1)-1 1/(n-1) ... 1/(n-1)
1/(n-1) (2-n)/(n-1) ... -1/(n-1)
1/(n-1) 1/(n-1) ... 1/(n-1)
...
1/(n-1) 1/(n-1) ... (2-n)/(n-1)