如图 顾樵 数学物理方法 215页 公式（7.3.40）中的定积分怎么求的？
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解：分享一种解法，转化成二重积分求解。
∵2sinωcos(ωx)=sin(ω+ωx)-sin(ωx-ω)，
∴[sin(ω+ωx)-sin(ωx-ω)]/ω=∫(x+1,x-1)cosωtdt，∴u(x,y)=(1/π)∫(x+1,x-1)dt∫(0,∞)cosωte^(-ωy)dω。
而∫(0,∞)cosωte^(-ωy)dω=y/(t^2+y^2)，
∴u(x,y)=(1/π)∫(x+1,x-1)ydt/(t^2+y^2)=(1/π)arctan(t/y)丨(t=x+1,x-1)=(1/π){arctan[(x+1)/y)]-arctan[(x-1)/y)]}。
供参考。
∵2sinωcos(ωx)=sin(ω+ωx)-sin(ωx-ω)，
∴[sin(ω+ωx)-sin(ωx-ω)]/ω=∫(x+1,x-1)cosωtdt，∴u(x,y)=(1/π)∫(x+1,x-1)dt∫(0,∞)cosωte^(-ωy)dω。
而∫(0,∞)cosωte^(-ωy)dω=y/(t^2+y^2)，
∴u(x,y)=(1/π)∫(x+1,x-1)ydt/(t^2+y^2)=(1/π)arctan(t/y)丨(t=x+1,x-1)=(1/π){arctan[(x+1)/y)]-arctan[(x-1)/y)]}。
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