Question

求解两道数学题目,有关微积分的。

第一题
∫f(ax+b)dx=1/a∫f(u)du (a≠0,u=ax+b)，请问这个结果是怎么推算出来的？
第二题
设∫f(x)dx=Insinx+C,求∫xf(1-x^2)dx

Answer 1

这是第一换元积分法，令u=ax+b,du=adx,dx=1/adu
∫f(ax+b)dx=1/a∫f(u)du
2）令u＝1-x^2,du=-2xdx, xf(1-x^2)dx= -1/2f(u)du
∫xf(1-x^2)dx=1/2∫f(1-x^2)d(x^2)=-1/2∫f(1-x^2)d(1-x^2)=(-1/2)lnsin(1-x^2)+C

Answer 2

1. ∫f(u)du=∫f(ax+b)d(ax+b)=a∫f(ax+b)dx，所以∫f(ax+b)dx=1/a∫f(u)du
2. ∫xf(1-x^2)dx=1/2∫f(1-x^2)d(x^2)=-1/2∫f(1-x^2)d(1-x^2)=(-1/2)lnsin(1-x^2)+C

Answer 3

设ax+b=u,du=adx f(ax+b)dx=1/af(u)du

1-x^2=u,du=-2xdx, xf(1-x^2)dx= -1/2f(u)du 所以积分=-1/2lnsin(1-x^2)+c