Question

已知abcd为实数,且满足a平方加b平方等于1,c平方加d平方等于1,ac加bd等于0求

已知abcd为实数,且满足a平方加b平方等于1,c平方加d平方等于1,ac加bd等于0求证a平方加c平方等于1，b平方加d平方等于1，ab加cd等于0

Answer 1

∵a ²+b ²=1,且c ²+d ²=1.
∴a ²+b ²=c ²+d ²
∴a ²-d²=c²-b ²
∴(a ²-d ²)(b ²-c ²)=-(a ²-d ²)(a ²-d ²)=-(a ²-d ²)²≤0
由题意ac+bd=0.两边平方得：a ²c ²+2abcd+b ²d ²=0
∴2abcd=-a ²c ²-b ²d ²
设x=ab+cd.两边平方得：
x ²=a ²b ²+2abcd+c ²d ²
=a ²b ²-a ²c ²-b ²d ²+c ²d ²
=a ²(b ²-c ²)-d ²(b ²-c ²)
=(a ²-d ²)(b ²-c ²)
=-(a ²-d ²)².
即x ²=-(a ²-d ²)²≤0,又x ²≥0
∴x=0.即
ab+cd=0